Sejam
e
números reais conhecidos. Mostre que o conjunto
com escalares reais, forma um espaço vetorial linear.
Passo 1
O enunciado define o conjunto
ou seja,
Estamos no tema de espaços vetoriais e subespaços. Para mostrar que
é um espaço vetorial sobre
, basta verificar que
não é vazio e que é fechado sob adição e multiplicação por escalar.
Passo 2
Mostramos que o vetor zero
pertence a
:
logo
, ou seja,
não é vazio.
Passo 3
Fechamento sob adição. Sejam
e
em
. Então
Para
temos
logo
.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação por escalar. Seja
e
. Então
logo
.
Passo 5
Como
contém o vetor zero, e é fechado sob adição e multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço de
. Portanto
é um espaço vetorial linear sobre
.