Sejam alpha1 e alpha2 números reais conhecidos. Mostre que o conjunto
Z=x in R^2:[ll alpha1 & alpha2 ] x=0
com escalares reais, forma um espaço vetorial linear.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
Z = ,xinR^2 : [alpha1;alpha2],x = 0,
ou seja,
Z = (x1,x2)inR^2 : alpha1x1 + alpha2x2 = 0
Estamos no tema de espaços vetoriais e subespaços. Para mostrar que Z é um espaço vetorial sobre R, basta verificar que Z não é vazio e que é fechado sob adição e multiplicação por escalar.

Passo 2

Mostramos que o vetor zero 0 = (0,0) pertence a Z:
alpha1cdot 0 + alpha2cdot 0 = 0,
logo 0in Z, ou seja, Z não é vazio.

Passo 3

Fechamento sob adição. Sejam u=(u1,u2) e v=(v1,v2) em Z. Então
alpha1u1 + alpha2u2 = 0 e alpha1v1 + alpha2v2 = 0
Para u+v=(u1+v1,,u2+v2) temos
alpha1(u1+v1) + alpha2(u2+v2) = (alpha1u1+alpha2u2) + (alpha1v1+alpha2v2) = 0 + 0 = 0,
logo u+vin Z.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação por escalar. Seja lambdainR e u=(u1,u2)in Z. Então
alpha1(lambda u1) + alpha2(lambda u2) = lambda(alpha1u1 + alpha2u2) = lambdacdot 0 = 0,
logo lambdauin Z.

Passo 5

Como Z contém o vetor zero, e é fechado sob adição e multiplicação por escalar, concluímos que Z é um subespaço de R^2. Portanto Z é um espaço vetorial linear sobre R.

Resposta

Z é um subespaço vetorial de R^2, logo um espaço vetorial linear sobre R.

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