Seja
um conjunto de
vetores do
. Mostre que
é um subespaço vetorial do
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado um conjunto de vetores
, o seu span, isto é
é um subespaço vetorial de
.
Conteúdo necessário: definição de subespaço (conjunto não-vazio, fechado sob soma e multiplicação escalar).
Conteúdo necessário: definição de subespaço (conjunto não-vazio, fechado sob soma e multiplicação escalar).
Passo 2
Mostramos primeiro que
não é vazio, exibindo o vetor zero. Basta escolher todos os escalares iguais a zero:
Passo 3
Verificamos a estabilidade sob soma. Sejam
do span. Então
que é novamente uma combinação linear de
. Portanto
.
Passo 4
Verificamos a estabilidade sob multiplicação escalar. Se
pertence ao span e
, então
ou seja,
também é combinação linear de
. Logo
.
Passo 5
Como mostramos que o conjunto é não-vazio (contém
), fechado sob soma e fechado sob escalar, concluímos que ele satisfaz todos os critérios de subespaço de
.