Seja v1, v2, ldots, vk um conjunto de k vetores do R^n. Mostre que span(v1, v2, ldots, vk) é um subespaço vetorial do R^n.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um conjunto de vetores v1,v2,dots,vksubseteqR^n, o seu span, isto é
span(v1,dots,vk) =,alpha1v1+cdots+alphakvkmid alphaiinR,
é um subespaço vetorial de R^n.
Conteúdo necessário: definição de subespaço (conjunto não-vazio, fechado sob soma e multiplicação escalar).

Passo 2

Mostramos primeiro que span(v1,dots,vk) não é vazio, exibindo o vetor zero. Basta escolher todos os escalares iguais a zero:
0 =0,v1+0,v2+cdots+0,vk inspan(v1,dots,vk)

Passo 3

Verificamos a estabilidade sob soma. Sejam
u=alpha1v1+cdots+alphakvk, w=beta1v1+cdots+betakvk
do span. Então
u+w =(alpha1+beta1),v1+cdots+(alphak+betak),vk,
que é novamente uma combinação linear de v1,dots,vk. Portanto u+winspan(v1,dots,vk).

Passo 4

Verificamos a estabilidade sob multiplicação escalar. Se u=alpha1v1+cdots+alphakvk pertence ao span e lambdainR, então
lambda u =lambda(alpha1v1+cdots+alphakvk) =(lambdaalpha1),v1+cdots+(lambdaalphak),vk,
ou seja, lambda u também é combinação linear de v1,dots,vk. Logo lambda uinspan(v1,dots,vk).

Passo 5

Como mostramos que o conjunto é não-vazio (contém 0), fechado sob soma e fechado sob escalar, concluímos que ele satisfaz todos os critérios de subespaço de R^n.

Resposta

span(v1,v2,dots,vk) é um subespaço vetorial de R^n.

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