Seja F a função de distribuição dada por
F(x)=12+x2(|x|+1), x in R
Obtenha uma densidade f para F. Para quais valores de x teremos F^prime(x)=f(x), ?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma função de distribuição
F(x)=12 + x2(|x|+1), xinR,
e pede para achar a densidade associada, ou seja, vamos calcular .
Conteúdo: derivada de funções (cadeia, quociente) e derivada de .
O que vamos usar:
  • Regra do quociente.
  • Saber que .
  • Separar os casos e por causa do .

Passo 2

Primeiro, note que F(x)=12 + x2(x+1) =12 + 12cdotxx+1 muda a expressão conforme o sinal de ddxl(xx+1r) =(1)(x+1)-xcdot1(x+1)^2 =x+1 - x(x+1)^2 =1(x+1)^2 .
Caso 1: F'(x) =12cdot 1(x+1)^2 =12(x+1)^2 . Então
Para derivar, usamos a regra do quociente em :
Logo, para ,

Passo 3

Caso 2: F(x)=12 + x2((-x)+1) =12 + x2(1-x) =12 + 12cdotx1-x . Então
ddxl(x1-xr) =1cdot(1-x) - xcdot(-1)(1-x)^2 =1-x + x(1-x)^2 =1(1-x)^2
De novo, regra do quociente em F'(x) =12cdot 1(1-x)^2 =12(1-x)^2 :
Então, para ,

Passo 4

Agora veja que, tanto para F'(x)=12(|x|+1)^2, xneq0 quanto para , dá pra escrever de forma única usando :
Falta checar em :
  • O limite da derivada à direita em 0 é .
  • O limite à esquerda também dá .
    Então é diferenciável em e , que de novo é .

Resposta

A densidade é
f(x)=12,(|x|+1)^2, xinR,
e de fato para todo .

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