Seja
a função de distribuição dada por
Obtenha uma densidade
para
. Para quais valores de
teremos
, ?
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos uma função de distribuição
e pede para achar a densidade
associada, ou seja, vamos calcular
.
Conteúdo: derivada de funções (cadeia, quociente) e derivada de .
O que vamos usar:
Conteúdo: derivada de funções (cadeia, quociente) e derivada de
O que vamos usar:
- Regra do quociente.
- Saber que
. - Separar os casos
e por causa do .
Passo 2
Primeiro, note que
muda a expressão conforme o sinal de
.
Caso 1: . Então
Caso 1:
Para derivar, usamos a regra do quociente em
:
Logo, para
,
Passo 3
Caso 2:
. Então
De novo, regra do quociente em
:
Então, para
,
Passo 4
Agora veja que, tanto para
quanto para
, dá pra escrever de forma única usando
:
Falta checar em
:
- O limite da derivada à direita em 0 é
. - O limite à esquerda também dá
.
Entãoé diferenciável em e , que de novo é .
Resposta
A densidade é
e de fato
para todo
.