Seja X uma v.a. contínua tendo densidade dada por
f(x)=12 e^-|x|+ x in R
Calcule P(1 <=|X| <= 2).

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que f(x) = 12 e^-|x|, xinR, é uma variável aleatória contínua com densidade
Pl(1 <= |X| <= 2r)
e pede para calcular
P(a<= X<= b)=integrala^b f(x),dx
Conteúdo: probabilidade em variáveis contínuas, uso de densidade e integração. Vamos precisar entender que entre 1 e 2 equivale a e usar a definição

Passo 2

Como Pl(1<= |X|<=2r) = integral-2^-1 f(x),dx ;+; integral1^2 f(x),dx está entre 1 e 2, isto significa

Passo 3

Repara que a densidade é simétrica, porque vem de . Para f(x)=tfrac12 e^-x, temos
e para também vale . Então os dois integrais são iguais.

Passo 4

Usando a simetria:
P(1<=|X|<=2) =2integral1^212 e^-x,dx =integral1^2e^-x,dx

Passo 5

Agora a integral de integral1^2e^-x,dx =l[-e^-xr]1^2 =-e^-2-l(-e^-1r) =e^-1-e^-2 é fácil:

Resposta

Pl(1<=|X|<=2r) =e^-1-e^-2

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