Escolhem-se aleatoriamente três números distintos no conjunto \{1,2,3, \ldots, 29,30\}. Determine a probabilidade da soma desses três números ser divisível por 3.

Passo 1

O problema pede: escolher aleatoriamente três números distintos do conjunto \{1,2,3,\ldots,29,30\} e calcular a probabilidade de que a soma desses três números seja divisível por 3.
Informações dadas e importantes:
  • O universo de escolha é o conjunto com 30 números, todos distintos.
  • Escolhemos 3 números distintos sem ordem (ou seja, combinações).
  • Precisamos contar quantas escolhas de 3 números têm soma múltipla de 3 e dividir pelo número total de escolhas possíveis.

Passo 2

Ideia útil (explicada passo a passo): trabalhar com restos (resíduos) módulo 3. Isso significa classificar cada número pelo resto da divisão por 3. Há três classes de resíduos possíveis: \,0,1,2 (onde “resto 0” são os múltiplos de 3).
Por que isso ajuda? Porque a soma de números é divisível por 3 exatamente quando a soma dos seus resíduos módulo 3 é congruente a 0 módulo 3. Então basta contar combinações de resíduos que somem 0 (mod 3).
Agora contamos quantos números em \{1,\dots,30\} caem em cada classe de resíduos. Os múltiplos de 3 são 3,6,\dots,30, ou seja \lfloor 30/3\rfloor=10 números. Como 30 é múltiplo de 3, as outras duas classes também têm a mesma quantidade: existem 10 números com resto 1 e 10 com resto 2. Portanto definimos:
n_0 = 10,\qquad n_1 = 10,\qquad n_2 = 10,
onde n_r é o número de elementos com resto r (mod 3).

Passo 3

Quais combinações de resíduos dão soma congruente a 0 (mod 3) ao escolher três elementos? São exatamente as seguintes possibilidades (lista explicada):
  • Três resíduos 0,0,0: soma 0+0+0=0.
  • Três resíduos 1,1,1: soma 1+1+1=3\equiv0\pmod{3}.
  • Três resíduos 2,2,2: soma 2+2+2=6\equiv0\pmod{3}.
  • Uma de cada: 0,1,2: soma 0+1+2=3\equiv0\pmod{3}.
    Não há outras possibilidades porque qualquer outra combinação de três restos (por exemplo 0,0,1 ou 1,2,2) não soma a um múltiplo de 3.

Passo 4

Agora vamos contar, para cada caso acima, quantas escolhas de três números distintos correspondem. Usamos a fórmula de combinações: o número de maneiras de escolher k elementos dentre n sem ordem é
\binom{n}{k} = \frac{n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k!}.
Explicando: \binom{n}{k} conta subconjuntos de tamanho k de um conjunto com n elementos. Vamos aplicar com n=10 quando escolhemos dentro de uma classe de restos, e com produto simples quando escolhemos um de cada classe.
Contagens por caso:
  • Caso (0,0,0): escolher 3 dentre os n_0=10 múltiplos de 3:
\binom{10}{3}.
  • Caso (1,1,1): escolher 3 dentre os n_1=10:
\binom{10}{3}.
  • Caso (2,2,2): escolher 3 dentre os n_2=10:
\binom{10}{3}.
  • Caso (0,1,2): escolher 1 dos n_0=10, 1 dos n_1=10 e 1 dos n_2=10. Como escolhas em classes diferentes combinam independentemente, o total é
\binom{10}{1}\binom{10}{1}\binom{10}{1} = 10\cdot 10\cdot 10 = 1000.

Passo 5

Calculamos os valores numéricos. Primeiro
\binom{10}{3} = \frac{10\cdot 9\cdot 8}{3\cdot 2\cdot 1} = 120.
Portanto os três casos homogêneos juntos dão
3\cdot \binom{10}{3} = 3\cdot 120 = 360.
Somando o caso misto:
\text{favoráveis} = 360 + 1000 = 1360.á

Passo 6

Agora o número total de escolhas possíveis de 3 números distintos entre 30 é
\binom{30}{3} = \frac{30\cdot 29\cdot 28}{3\cdot 2\cdot 1} = 4060.
Isso representa o espaço amostral igualmente provável.

Passo 7

A probabilidade pedida é razão entre favoráveis e total:
P = \frac{1360}{4060}.
Simplificamos a fração: divide-se numerador e denominador por 20:
\frac{1360}{4060} = \frac{68}{203}.
Verificamos que 68 e 203 não têm fatores comuns ( 203=7\cdot29 e 68=4\cdot17 ), então a fração está irredutível.

Resposta

\dfrac{68}{203}

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