Escolhem-se aleatoriamente três números distintos no conjunto
. Determine a probabilidade da soma desses três números ser divisível por 3.
Passo 1
O problema pede: escolher aleatoriamente três números distintos do conjunto
e calcular a probabilidade de que a soma desses três números seja divisível por 3.
Informações dadas e importantes:
Informações dadas e importantes:
- O universo de escolha é o conjunto com
números, todos distintos. - Escolhemos
números distintos sem ordem (ou seja, combinações). - Precisamos contar quantas escolhas de
números têm soma múltipla de e dividir pelo número total de escolhas possíveis.
Passo 2
Ideia útil (explicada passo a passo): trabalhar com restos (resíduos) módulo
. Isso significa classificar cada número pelo resto da divisão por
. Há três classes de resíduos possíveis:
(onde “resto 0” são os múltiplos de
).
Por que isso ajuda? Porque a soma de números é divisível por exatamente quando a soma dos seus resíduos módulo
é congruente a
módulo
. Então basta contar combinações de resíduos que somem
(mod
).
Agora contamos quantos números em caem em cada classe de resíduos. Os múltiplos de
são
, ou seja
números. Como
é múltiplo de
, as outras duas classes também têm a mesma quantidade: existem
números com resto
e
com resto
. Portanto definimos:
Por que isso ajuda? Porque a soma de números é divisível por
Agora contamos quantos números em
onde
é o número de elementos com resto
(mod
).
Passo 3
Quais combinações de resíduos dão soma congruente a
(mod
) ao escolher três elementos? São exatamente as seguintes possibilidades (lista explicada):
- Três resíduos
: soma . - Três resíduos
: soma . - Três resíduos
: soma . - Uma de cada:
: soma .
Não há outras possibilidades porque qualquer outra combinação de três restos (por exemploou ) não soma a um múltiplo de .
Passo 4
Agora vamos contar, para cada caso acima, quantas escolhas de três números distintos correspondem. Usamos a fórmula de combinações: o número de maneiras de escolher
elementos dentre
sem ordem é
Explicando:
conta subconjuntos de tamanho
de um conjunto com
elementos. Vamos aplicar com
quando escolhemos dentro de uma classe de restos, e com produto simples quando escolhemos um de cada classe.
Contagens por caso:
- Caso
: escolher 3 dentre os múltiplos de :
- Caso
: escolher 3 dentre os :
- Caso
: escolher 3 dentre os :
- Caso
: escolher 1 dos , 1 dos e 1 dos . Como escolhas em classes diferentes combinam independentemente, o total é
Passo 5
Calculamos os valores numéricos. Primeiro
Portanto os três casos homogêneos juntos dão
Somando o caso misto:
Passo 6
Agora o número total de escolhas possíveis de
números distintos entre
é
Isso representa o espaço amostral igualmente provável.
Passo 7
A probabilidade pedida é razão entre favoráveis e total:
Simplificamos a fração: divide-se numerador e denominador por
:
Verificamos que
e
não têm fatores comuns (
e
), então a fração está irredutível.