Um juiz de futebol possui três cartões no bolso. Um é todo amarelo, outro é todo vermelho e o terceiro é vermelho de um lado e amarelo do outro. Num determinado lance, o juiz retira, ao acaso, um cartão do bolso e o mostra a um jogador. Determine a probabilidade de a face que o juiz vê ser vermelha e de a outra face, mostrada ao jogador, ser amarela.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Há três cartões no bolso:
    • um é amarelo dos dois lados,
    • outro é vermelho dos dois lados,
    • o terceiro é vermelho de um lado e amarelo do outro.
  • O juiz retira, ao acaso, um cartão e mostra uma face ao jogador; simultaneamente há uma face oposta que o juiz vê.
    A pergunta é: qual a probabilidade de que a face que o juiz vê seja vermelha e a face mostrada ao jogador seja amarela?

Passo 2

Vamos modelar o experimento de forma precisa (isso evita ciladas): o juiz escolhe um cartão ao acaso entre os três e, ao mostrar, o “lado mostrado” e o “lado visto pelo juiz” são duas faces opostas do mesmo cartão. Assumimos que:
  • cada cartão é escolhido com igual probabilidade,
  • para o cartão escolhido, as duas orientações possíveis (que face fica voltada para o jogador) são igualmente prováveis.
    Com isso, o espaço amostral pode ser pensado como todas as orientações possíveis (cartão escolhido + que face está voltada para o jogador). Haverá 3 cartões \times 2 orientações = 6 resultados igualmente prováveis.

Passo 3

Rotulando os cartões para ficar claro:
  • C_1: amarelo/amarelo ( Y/Y),
  • C_2: vermelho/vermelho ( R/R),
  • C_3: vermelho/amarelo ( R/Y).
Os 6 resultados possíveis (escritos como (\text{face vista pelo juiz},\\ \text{face mostrada ao jogador})) são:
(C_1):\\ (Y, Y),\\ (Y, Y)
(C_2):\\ (R, R),\\ (R, R)
(C_3):\\ (R, Y),\\ (Y, R)
Obs.: para C_1 e C_2 as duas orientações produzem pares idênticos em cores, mas ainda contam como dois resultados distintos no espaço amostral porque correspondem a faces distintas do mesmo cartão. Cada um desses seis resultados tem probabilidade igual a \frac{1}{6}.

Passo 4

Agora identifique quais desses resultados satisfazem o evento pedido: “a face que o juiz vê é vermelha e a face mostrada ao jogador é amarela”, ou seja, pares da forma (R, Y).
Da lista do Passo 3 apenas o resultado vindo de C_3 com orientação que mostra a face amarela ao jogador e deixa o juiz vendo a face vermelha corresponde a (R, Y). Há exatamente 1 resultado favorável entre os 6.

Passo 5

A probabilidade do evento é então o número de resultados favoráveis dividido pelo número total de resultados igualmente prováveis:
\text{Probabilidade} = \frac{1}{6}.
Um jeito rápido de ver isso mentalmente: há 6 faces possíveis “para baixo” (pensando em cada face orientada para o jogador), e só uma dessas seis situações coloca o juiz vendo vermelho e o jogador vendo amarelo — a orientação do cartão R/Y com o R para o juiz e o Y para o jogador.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{6}

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