Formamos todos os pares ordenados ( a, b ), com a, b \in\{1,2,3 . ., 20\}. Qual a probabilidade que
\frac{2^{a}+2^{b}}{3} \in \mathbb{N}

Passo 1

O enunciado: formamos todos os pares ordenados (a,b) com a,b \in \{1,2,\dots,20\}. Pergunta: qual a probabilidade de
\frac{2^{a}+2^{b}}{3}\in\mathbb{N}?
Informações relevantes dadas:
  • O espaço amostral são todos os pares ordenados (a,b) com a,b entre 1 e 20.
  • A condição pedida é que 3 divida 2^{a}+2^{b}, ou seja 2^{a}+2^{b}\equiv 0\pmod{3}.
  • O número total de pares ordenados possíveis é 20^2.

Passo 2

Entendendo a condição de divisibilidade por 3: trabalhar com restos módulo 3 é a forma padrão. Vou explicar o conceito rápido e simples.
  • Dizemos que dois números x e y são congruentes módulo 3 se têm o mesmo resto na divisão por 3; escrevemos x\equiv y\pmod{3}.
  • Para saber se 3 divide 2^{a}+2^{b} basta calcular 2^{a}+2^{b} módulo 3 e ver se o resto é 0.

Passo 3

Calcule o padrão de 2^{n} módulo 3. Note que 2\equiv -1\pmod{3}, então
2^{n}\equiv (-1)^{n}\pmod{3}.
Isto dá um padrão simples:
  • Se n é par, então (-1)^{n}=1, logo 2^{n}\equiv 1\pmod{3}.
  • Se n é ímpar, então (-1)^{n}=-1, logo 2^{n}\equiv -1\pmod{3} (ou equivalentemente 2^{n}\equiv 2\pmod{3}).
    Esse padrão tem período 2: par → resto 1; ímpar → resto -1.

Passo 4

Use o padrão para somar restos: para 2^{a}+2^{b} temos quatro possibilidades relativas às paridades de a e b:
  • a par e b par: 2^{a}+2^{b}\equiv 1+1\equiv 2\not\equiv 0\pmod{3}.
  • a ímpar e b ímpar: 2^{a}+2^{b}\equiv -1+(-1)\equiv -2\equiv 1\not\equiv 0\pmod{3}.
  • a par e b ímpar: 2^{a}+2^{b}\equiv 1+(-1)\equiv 0\pmod{3}.
  • a ímpar e b par: 2^{a}+2^{b}\equiv -1+1\equiv 0\pmod{3}.
    Conclusão: 3 divide 2^{a}+2^{b} exatamente quando a e b têm paridades diferentes (um par, outro ímpar).

Passo 5

Contagem das paridades no intervalo \{1,2,\dots,20\}:
  • Quantidade de números pares é 10 (são 2,4,\dots,20).
  • Quantidade de números ímpares é 10 (são 1,3,\dots,19).
    Isso porque há 20 números no total e, no intervalo inicial de naturais consecutivos começando em 1, há metade pares e metade ímpares quando o total é par.

Passo 6

Contagem dos pares ordenados que satisfazem a condição (paridades diferentes):
  • Casos com a par e b ímpar: 10 opções para a vezes 10 opções para b, total 10\cdot 10=100.
  • Casos com a ímpar e b par: também 10\cdot 10=100.
    Somando os dois casos dá 100+100=200 pares ordenados favoráveis.

Passo 7

Probabilidade: total de pares ordenados possíveis é 20^{2}=400. Portanto a probabilidade pedida é
\frac{200}{400}=\frac{1}{2}.

Resposta

\tfrac{1}{2}

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