Formamos todos os pares ordenados (
), com
. Qual a probabilidade que
Passo 1
O enunciado: formamos todos os pares ordenados
com
. Pergunta: qual a probabilidade de
Informações relevantes dadas:
- O espaço amostral são todos os pares ordenados
com entre e . - A condição pedida é que
divida , ou seja . - O número total de pares ordenados possíveis é
.
Passo 2
Entendendo a condição de divisibilidade por
: trabalhar com restos módulo
é a forma padrão. Vou explicar o conceito rápido e simples.
- Dizemos que dois números
e são congruentes módulo se têm o mesmo resto na divisão por ; escrevemos . - Para saber se
divide basta calcular módulo e ver se o resto é .
Passo 3
Calcule o padrão de
módulo
. Note que
, então
Isto dá um padrão simples:
- Se
é par, então , logo . - Se
é ímpar, então , logo (ou equivalentemente ).
Esse padrão tem período: par → resto ; ímpar → resto .
Passo 4
Use o padrão para somar restos: para
temos quatro possibilidades relativas às paridades de
e
:
-
par e par: . -
ímpar e ímpar: . -
par e ímpar: . -
ímpar e par: .
Conclusão:divide exatamente quando e têm paridades diferentes (um par, outro ímpar).
Passo 5
Contagem das paridades no intervalo
:
- Quantidade de números pares é
(são ). - Quantidade de números ímpares é
(são ).
Isso porque hánúmeros no total e, no intervalo inicial de naturais consecutivos começando em , há metade pares e metade ímpares quando o total é par.
Passo 6
Contagem dos pares ordenados que satisfazem a condição (paridades diferentes):
- Casos com
par e ímpar: opções para vezes opções para , total . - Casos com
ímpar e par: também .
Somando os dois casos dápares ordenados favoráveis.
Passo 7
Probabilidade: total de pares ordenados possíveis é
. Portanto a probabilidade pedida é