Duas pessoas vão disputar uma partida de par ou ímpar. Elas não gostam do zero e, assim, cada uma coloca 1, 2, 3, 4 ou 5 dedos com igual probabilidade. A probabilidade de que a pessoa que escolheu par ganhe é?

Passo 1

O enunciado pergunta: qual é a probabilidade de que a pessoa que escolheu par ganhe a partida?
Informações dadas:
  • Cada pessoa escolhe um número entre \{1,2,3,4,5\}.
  • Cada número é escolhido com igual probabilidade (escolha uniforme).
  • As escolhas são independentes (o número escolhido por uma pessoa não afeta o da outra).
  • A pessoa que escolheu “par” vence quando a soma dos dois números for par; a que escolheu “ímpar” vence quando a soma for ímpar.

Passo 2

Entendendo paridade (o que é importante aqui):
  • Um número é par quando é da forma \,2k, para algum inteiro k.
  • Um número é ímpar quando é da forma \,2k+1, para algum inteiro k.
    Regra da soma de paridade (muito útil):
  • par + par = par , porque \,2a + 2b = 2(a+b).)
  • ímpar + ímpar = par , porque \,(2a+1)+(2b+1)=2(a+b+1).)
  • par + ímpar = ímpar .
    Logo, a soma é par exatamente quando os dois números têm a mesma paridade (ambos pares ou ambos ímpares).

Passo 3

Calcular as probabilidades individuais de escolher par ou ímpar:
  • Números pares no conjunto são \{2,4\} — há 2 deles, então a probabilidade de escolher par é \frac{2}{5}.
  • Números ímpares no conjunto são \{1,3,5\} — há 3 deles, então a probabilidade de escolher ímpar é \frac{3}{5}.

Passo 4

Usando independência para achar a probabilidade de ambos escolherem pares:
Se A = “jogador A escolhe par” e B = “jogador B escolhe par”, então, por independência,
P(A\\ \text{e}\\ B)=P(A)\cdot P(B).
Aqui P(A)=\frac{2}{5} e P(B)=\frac{2}{5}, logo
P(\text{ambos pares})=\frac{2}{5}\cdot\frac{2}{5}=\frac{4}{25}.

Passo 5

Calcular a probabilidade de ambos escolherem ímpares, do mesmo modo:
P(\text{ambos ímpares})=\frac{3}{5}\cdot\frac{3}{5}=\frac{9}{25}.í

Passo 6

Como a soma é par quando os dois têm a mesma paridade, a probabilidade de suma par (ou seja, de vitória do jogador que escolheu par) é a soma das probabilidades dos dois casos mutuamente exclusivos:
P(\text{soma par})=P(\text{ambos pares})+P(\text{ambos ímpares})=\frac{4}{25}+\frac{9}{25}=\frac{13}{25}.í

Passo 7

Verificação por contagem direta (opcional, para entender melhor): há 5\cdot5=25 pares ordenados possíveis. Favoráveis são 2\cdot2=4 pares ambos pares e 3\cdot3=9 pares ambos ímpares, total 4+9=13 favoráveis em 25. Então a probabilidade é \frac{13}{25}, que em decimal é aproximadamente 0{,}52. Boa! Você já consegue justificar isso de duas maneiras.

Resposta

\frac{13}{25}

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