Duas pessoas vão disputar uma partida de par ou ímpar. Elas não gostam do zero e, assim, cada uma coloca 1, 2, 3, 4 ou 5 dedos com igual probabilidade. A probabilidade de que a pessoa que escolheu par ganhe é?
Passo 1
O enunciado pergunta: qual é a probabilidade de que a pessoa que escolheu par ganhe a partida?
Informações dadas:
Informações dadas:
- Cada pessoa escolhe um número entre
. - Cada número é escolhido com igual probabilidade (escolha uniforme).
- As escolhas são independentes (o número escolhido por uma pessoa não afeta o da outra).
- A pessoa que escolheu “par” vence quando a soma dos dois números for par; a que escolheu “ímpar” vence quando a soma for ímpar.
Passo 2
Entendendo paridade (o que é importante aqui):
- Um número é par quando é da forma
, para algum inteiro . - Um número é ímpar quando é da forma
, para algum inteiro .
Regra da soma de paridade (muito útil): -
par + par = par , porque .) -
ímpar + ímpar = par , porque .) -
par + ímpar = ímpar .
Logo, a soma é par exatamente quando os dois números têm a mesma paridade (ambos pares ou ambos ímpares).
Passo 3
Calcular as probabilidades individuais de escolher par ou ímpar:
- Números pares no conjunto são
— há 2 deles, então a probabilidade de escolher par é . - Números ímpares no conjunto são
— há 3 deles, então a probabilidade de escolher ímpar é .
Passo 4
Usando independência para achar a probabilidade de ambos escolherem pares:
Se = “jogador A escolhe par” e
= “jogador B escolhe par”, então, por independência,
Se
Aqui
e
, logo
Passo 5
Calcular a probabilidade de ambos escolherem ímpares, do mesmo modo:
Passo 6
Como a soma é par quando os dois têm a mesma paridade, a probabilidade de suma par (ou seja, de vitória do jogador que escolheu par) é a soma das probabilidades dos dois casos mutuamente exclusivos:
Passo 7
Verificação por contagem direta (opcional, para entender melhor): há
pares ordenados possíveis. Favoráveis são
pares ambos pares e
pares ambos ímpares, total
favoráveis em
. Então a probabilidade é
, que em decimal é aproximadamente
. Boa! Você já consegue justificar isso de duas maneiras.