(a) Se escolhermos , a função é contínua no ponto ?
(b) Determine e para que seja diferenciável no ponto .
(a) Para e , temos que , enquanto
pois , e como sen é limitado e tende a zero, temos o resultado pelo teorema do confronto. Portanto, como , a função não é contínua no ponto .
(b) Para ser diferenciável, devemos ter
Temos que para o limite acima existir. Por outro lado o limite
O limite pelo teorema do confronto. O limite , pode ser calculado usando L’Hopital, obtemos:
Portanto e .

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= 7x - b, & x >= 0, cos(ax + pi/2) + x^3,sinl(2/xr), & x<0,
pede em (a) verificar continuidade em x=0 para a=1, b=2 e em (b) achar a,b para que f seja diferenciável em 0. O conteúdo aqui é limite, continuidade e derivada de função definida por partes.

Passo 2

Para a=1 e b=2 calculo f(0) e o limite pela esquerda. Como 0>=0,
f(0)=7cdot0 - 2 = -2
Pela esquerda,
limxto0^-f(x) =limxto0^-l[cos(x+pi/2)+x^3sin(2/x)r] =cosl(pi/2r)+0=0

Passo 3

Como
f(0)=-2 neq 0 = limxto0^-f(x),
a função NÃO é contínua em x=0 para a=1, b=2.

Passo 4

Para que f seja diferenciável em 0 é preciso, em particular, que seja contínua em 0. Igualando
limxto0^-f(x)=limxto0^+f(x)=f(0)
0 = f(0) = -b Longrightarrow b=0

Passo 5

O quociente de diferença pela direita é
f'(0^+) =limhto0^+f(h)-f(0)h =limhto0^+7h - b -(-b)h =7

Passo 6

O quociente de diferença pela esquerda é
f'(0^-) =limhto0^-cos(a h+pi/2)+h^3sin(2/h)-(-b)h =limhto0^-cos(a h+pi/2)h +limhto0^-h^2sin(2/h)
O segundo limite é zero. No primeiro note que cos(a h+pi/2)=-sin(a h), logo
limhto0^-cos(a h+pi/2)h =-limhto0sin(a h)h =-a

Passo 7

Igualando f'(0^+)=f'(0^-) obtemos
7 = -a Longrightarrow a=-7,
e já tínhamos b=0.

Resposta

(a) A função não é contínua em x=0 para a=1, b=2.
(b) Para f ser diferenciável em 0 é necessário e suficiente
a=-7, b=0

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