Questão 1 (2,0 pontos)
Resolva o PVI e determine o intervalo máximo definição da solução:
y^prime=6 x yx^2-16 y(2)=4

Passo 1

O enunciado dá o PVI
y' = 6 x,yx^2-16, y(2)=4
e pede a solução e o intervalo máximo em que ela existe. Trata-se de uma equação diferencial de primeira ordem separável.

Passo 2

Separemos variáveis e integremos:
integral 1y,dy = integral 6xx^2-16,dx
No lado direito observe que ddx(x^2-16)=2x, então
integral 6xx^2-16,dx = 3integral 2xx^2-16,dx = 3lnl|x^2-16r| + C
Logo,
lnl|yr| = 3lnl|x^2-16r| + C
Exponenciando e definindo K=e^C, vem
y = K,(x^2-16)^3

Passo 3

Usando y(2)=4:
2^2-16 = -12,(-12)^3=-1728,
4 = Kcdot(-1728)Longrightarrow K = -1432
Portanto a solução é
y(x) = -1432,(x^2-16)^3

Passo 4

O ODE original tem singularidades em x^2-16=0, ou seja em x=pm4. Como a condição inicial está em x=2, o maior intervalo que contém 2 e não atinge pm4 é
(-4,4)

Resposta

y(x) = -1432,(x^2-16)^3,
Intervalo máximo de definição: (-4,4).

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