Problema 03 Calcular a derivada.
f(x)=log 2(3 x-cos 2 x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=log2l(3x-cos(2x)r)
O conteúdo usado será: regra da derivada de logaritmo em base a e regra da cadeia para derivadas de soma e cosseno.

Passo 2

Primeiro reescrevemos o logaritmo em base 2 usando logaritmo natural:
f(x)=lnl(3x-cos(2x)r)ln(2)
Como ln(2) é constante,
f'(x)=1ln(2);ddxl[lnl(3x-cos(2x)r)r]

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia em ln(u), com
u(x)=3x-cos(2x)
Temos
ddxl[ln(u)r] =u'(x)u(x)

Passo 4

Calculemos u'(x). Como u(x)=3x-cos(2x),
u'(x)=ddx[3x]-ddx[cos(2x)] =3 -l(-sin(2x)cdot 2r) =3+2sin(2x)

Passo 5

Substituindo em f'(x):
f'(x) =1ln(2);3+2sin(2x)3x-cos(2x)

Resposta

f'(x) =3+2sin(2x)l(3x-cos(2x)r),ln(2)

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