(1,3 pontos) Seja f:[a, b] R uma função limitada integrável. Defina
F(x)=integrala^x f(t) d t, x in[a, b]
(a) (0,4) Mostre que F é contínua em [a, b].
(b) (0,6) Prove que se f é contínua em x0 in(a, b) então F é derivável em x0 e F^prime(x0)=f(x0).
(c) (0,3) Seja g:[0, infty) R definida por g(x)=integral0^x e^-t^2 d t. Mostre que g é estritamente crescente.

Passo 1

O enunciado define F(x)=integrala^xf(t),dt com f limitada e integrável em [a,b]. Precisamos mostrar:
– (a) F é contínua em [a,b];
– (b) se f é contínua em x0in(a,b) então F é derivável em x0 com F'(x0)=f(x0);
– (c) para g(x)=integral0^xe^-t^2,dt provar que g é estritamente crescente.
Usaremos que f é limitada para (a), a definição de derivada e continuidade de f para (b) e o sinal positivo de e^-t^2 para (c).

Passo 2

Como f é limitada em [a,b], existe M>=0 tal que lvert f(t)rvert<= M para todo t. Para quaisquer x,x0in[a,b] vale
|F(x)-F(x0)| =l|integrala^xf - integrala^x0fr| =l|integralx0^xf(t),dtr| <= integralx0^x|f(t)|,dt <= M,|x-x0|
Como M|x-x0|to0 quando xto x0, segue que F é contínua em [a,b].

Passo 3

Para x0in(a,b) e pequeno h, o quociente de diferença é
F(x0+h)-F(x0)h =1hintegralx0^x0+hf(t),dt
Como f é contínua em x0, dado varepsilon>0 existe de<a>0 tal que |f(t)-f(x0)|<varepsilon sempre que |t-x0|<de<a. Se |h|<de<a, então
l|tfrac1h!integralx0^x0+h!f(t),dt - f(x0)r| =l|tfrac1h!integralx0^x0+h!l(f(t)-f(x0)r),dtr| <= 1|h|!integralx0^x0+h!|f(t)-f(x0)|,dt <varepsilon
Logo o limite do quociente é f(x0) e F'(x0)=f(x0).

Passo 4

Defina g(x)=integral0^xe^-t^2,dt. Se 0<= x<y então
g(y)-g(x)=integralx^ye^-t^2,dt
Como e^-t^2>0 para todo t, a integral é estritamente positiva e portanto g(y)>g(x). Assim g é estritamente crescente.

Resposta

(a) F é contínua em [a,b].
(b) Se f é contínua em x0 então F é derivável em x0 e F'(x0)=f(x0).
(c) g é estritamente crescente em [0,infty).

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