(1,3 pontos) Seja uma função limitada integrável. Defina
(a) Mostre que é contínua em .
(b) Prove que se é contínua em então é derivável em e .
(c) Seja definida por . Mostre que é estritamente crescente.
Passo 1
O enunciado define com limitada e integrável em . Precisamos mostrar:
– (a) é contínua em ;
– (b) se é contínua em então é derivável em com ;
– (c) para provar que é estritamente crescente.
Usaremos que é limitada para (a), a definição de derivada e continuidade de para (b) e o sinal positivo de para (c).
Passo 2
Como é limitada em , existe tal que para todo . Para quaisquer vale
Como M|x-x0|to0 quando xto x0, segue que F é contínua em [a,b].
Passo 3
Para x0in(a,b) e pequeno h, o quociente de diferença é
F(x0+h)-F(x0)h =1hintegralx0^x0+hf(t),dt
Como f é contínua em x0, dado varepsilon>0 existe de<a>0 tal que |f(t)-f(x0)|<varepsilon sempre que |t-x0|<de<a. Se |h|<de<a, então