Resolva a seguinte equação: (123)x=(1002)4.

Passo 1

O problema dá a igualdade de dois números em bases diferentes: (123)_x = (1002)_4. O conteúdo é conversão de bases e montagem de equação polinomial, e vamos usar a definição posicional para traduzir cada lado pra decimal.

Passo 2

Para converter (123)_x pra base 10 usamos que cada dígito corresponde a uma potência de x. Assim:
1cdot x^2 + 2cdot x + 3

Passo 3

Para converter (1002)_4 pra decimal escrevemos:
1cdot 4^3 + 0cdot 4^2 + 0cdot 4 + 2 = 64 + 2 = 66

Passo 4

Agora igualamos as expressões em decimal:
x^2 + 2x + 3 = 66 Simplificando, obtemos
x^2 + 2x - 63 = 0

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática com Bhaskara:
De
x = -2 pm raiz2562 = -2 pm 162,
que dá as raízes x = 7 e x = -9.

Passo 6

Como x é a base de numeração, precisa ser inteiro positivo e maior que o maior dígito (que é 3). Logo, a única opção válida é x = 7.

Resposta

x = 7

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