Escreva as auto funções do átomo de hidrogênio associadas aos seguintes valores para os número quânticos
, l e m.
, l
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre as auto funções do átomo de hidrogênio. O enunciado pede para encontrar a auto função quando os números quânticos são $ n = 2 $, $ l = 1 $ e $ m = -1 $. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica, especificamente as funções de onda do átomo de hidrogênio, que dependem dos números quânticos principais $ n $, azimutal $ l $ e magnético $ m $.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a função de onda do átomo de hidrogênio é dividida em duas partes: a parte radial $ R_{n,l}® $ e a parte angular, que é representada pelas harmônicas esféricas $ Y_{l,m}(\theta, \phi) $. Então, a auto função completa é dada por:
Vamos calcular cada uma dessas partes separadamente.
Passo 3
Vamos começar com a parte radial $ R_{n,l}® $. Para $ n = 2 $ e $ l = 1 $, a função radial é dada por:
Onde $ a_0 $ é o raio de Bohr, uma constante que representa a escala do átomo de hidrogênio.
Passo 4
Agora, vamos para a parte angular, as harmônicas esféricas $ Y_{l,m}(\theta, \phi) $. Para $ l = 1 $ e $ m = -1 $, a harmônica esférica é:
Essa função descreve a distribuição angular da função de onda no espaço.
Passo 5
Finalmente, juntando as duas partes, a função de onda completa $ \psi_{2,1,-1}(r, \theta, \phi) $ fica:
Resposta
A auto função do átomo de hidrogênio para $ n = 2 $, $ l = 1 $ e $ m = -1 $ é: