Escreva, em cada caso, a derivada da função na forma mais simples possível.
f(x)=arctg(3x)+ln raizx-3x+3;

Passo 1

O enunciado pede f'(x) para
f(x)=arctg!l(tfrac3xr)+lnraizx-3x+3
Vamos usar:
  1. Derivada de arctan(u) é u'1+u^2 (regra da cadeia).
  2. lnraizA=tfrac12ln A e derivada de ln A é tfracA'A.

Passo 2

Derivada de arctgl(tfrac3xr). Seja u(x)=tfrac3x, então
u'(x)=-3x^2
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ddx!l[arctg(u)r] =u'1+u^2 =-3/x^21+(3/x)^2 =-3/x^21+tfrac9x^2 =-3x^2+9

Passo 3

Derivada de lnraiztfracx-3x+3. Primeiro escrevo
lnraiztfracx-3x+3 =tfrac12ln!l(tfracx-3x+3r) =tfrac12l[ln(x-3)-ln(x+3)r]
Derivando:
ddx =tfrac12l[1x-3-1x+3r] =tfrac12cdot(x+3)-(x-3)(x-3)(x+3) =tfrac12cdot6x^2-9 =3x^2-9

Passo 4

Somando as duas partes:
f'(x) =-3x^2+9+3x^2-9 =3l[1x^2-9-1x^2+9r]
Para simplificar:
1x^2-9-1x^2+9 =(x^2+9)-(x^2-9)(x^2-9)(x^2+9) =18(x^2-9)(x^2+9),
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f'(x) =3cdot18(x^2-9)(x^2+9) =54(x^2-9)(x^2+9)

Resposta

f'(x)=54(x^2-9)(x^2+9)

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