Q. 2(2,0). Seja C uma curva definida pela equação x y^2+y^3=2 x-2 y+2, que define implicitamente a função y=f(x). Determine, se possível, a equação da reta normal n à curva C no ponto em que abscissa e ordenada tem o mesmo valor.

Passo 1

O enunciado apresenta a curva C definida implicitamente por \r
x,y^2+y^3=2x-2y+2 \r
que define y=f(x). Queremos a reta normal a C no ponto em que abscissa e ordenada coincidem, isto é, para x=y.

Passo 2

Substituindo y=x em \r
x,y^2+y^3=2x-2y+2 \r
vem \r
xcdot x^2+x^3=2x-2x+2
2x^3=2
x^3=1implies x=1, \r
logo o ponto de interesse é (1,1).

Passo 3

Diferenciando ambos os lados de
x,y^2+y^3=2x-2y+2 \r
em relação a x, usando regra do produto e cadeia, obtém-se \r
y^2+2x,y,y'+3y^2y'=2-2y' \r
Isolando y': \r
y',(2xy+3y^2+2)=2-y^2
y'=2-y^22xy+3y^2+2

Passo 4

Em (1,1) temos \r
y'=2-12cdot1cdot1+3cdot1+2=17 \r
A inclinação da reta normal é
mn=-1y'=-7

Passo 5

Aplicando a forma ponto-inclinação para a normal em (1,1): \r
y-1=-7,(x-1)
y=-7x+8

Resposta

y=-7x+8

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