Exercício 11 (K.11.2 Ex.13)
Mostre que as conhecidas identidades abaixo podem ser interpretadas como a série de Fourier da função à esquerda da igualdade (Para isto calcule a série de Fourier das funções à esquerda):
i)
.
ii)
.
Desenvolva
usando série de Fourier.
Mostre que as conhecidas identidades abaixo podem ser interpretadas como a série de Fourier da função à esquerda da igualdade (Para isto calcule a série de Fourier das funções à esquerda):
i)
ii)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que as fórmicas
surgem como séries de Fourier de
(função par) e
(função ímpar) no intervalo
. Em seguida, devemos desenvolver a série de Fourier de
. Para isso, usamos a fórmula geral da série de Fourier numa função
-periódica
:
onde
Passo 2
Cálculo da série de Fourier de
.
– Como é par, todos os
.
– Os coeficientes são
– Como
– Os coeficientes
Pela ortogonalidade, somente
e
podem dar não nulo.
. Para
:
Mas reconhece-se no fim que
(pode-se também usar produto-para-soma).
– Assim
– Assim
Passo 3
Cálculo da série de Fourier de
.
– é ímpar, então todos os
.
– Os coeficientes
–
– Os coeficientes
só podem ser não nulos para
e
.
. Para
:
– Logo
Passo 4
Cálculo da série de Fourier de
.
– Função par para todo
.
– Coeficientes :
– Função par
– Coeficientes
Pela ortogonalidade, só
podem ser não nulos.
.
. Para
:
– Conclui-se que