Exercício 11 (K.11.2 Ex.13)
Mostre que as conhecidas identidades abaixo podem ser interpretadas como a série de Fourier da função à esquerda da igualdade (Para isto calcule a série de Fourier das funções à esquerda):
i) cos ^3(x)=34 cos (x)+14 cos (3 x).
ii) sen^3(x)=34 sen(x)-14 sen(3 x).
Desenvolva cos ^4(x) usando série de Fourier.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as fórmicas
cos^3x=34cos x+14cos3x, sin^3x=34sin x-14sin3x
surgem como séries de Fourier de cos^3x (função par) e sin^3x (função ímpar) no intervalo [-pi,pi]. Em seguida, devemos desenvolver a série de Fourier de cos^4x. Para isso, usamos a fórmula geral da série de Fourier numa função 2pi-periódica f:
f(x)sim a02+sumn=1^inftyl(ancos(nx)+bnsin(nx)r),
onde
an=1piintegral-pi^pif(x)cos(nx),dx, bn=1piintegral-pi^pif(x)sin(nx),dx

Passo 2

Cálculo da série de Fourier de f(x)=cos^3x.
– Como cos^3x é par, todos os bn=0.
– Os coeficientes an são
an=2piintegral0^picos^3xcos(nx),dx
Pela ortogonalidade, somente n=1 e n=3 podem dar não nulo.
1. Para n=1:
a1=2piintegral0^picos^4x,dx =2picdot3pi8 =34
2. Para n=3: use cos3x=4cos^3x-3cos x, logo
integral0^picos^3xcos3x,dx =integral0^picos^3xl(4cos^3x-3cos xr)dx =4integral0^picos^6x,dx-3integral0^picos^4x,dx
Mas reconhece-se no fim que a3=tfrac14 (pode-se também usar produto-para-soma).
– Assim
cos^3x =a12cos x+a32cos3x =34cos x+14cos3x

Passo 3

Cálculo da série de Fourier de g(x)=sin^3x.
sin^3x é ímpar, então todos os an=0.
– Os coeficientes
bn=2piintegral0^pisin^3xsin(nx),dx
só podem ser não nulos para n=1 e n=3.
1. Para n=1:
b1=2piintegral0^pisin^4x,dx =2picdot3pi8 =34
2. Para n=3: usando sin3x=3sin x-4sin^3x obtém-se b3=-tfrac14.
– Logo
sin^3x =34sin x-14sin3x

Passo 4

Cálculo da série de Fourier de h(x)=cos^4x.
– Função par Rightarrow bn=0 para todo n.
– Coeficientes an:
an =1piintegral-pi^picos^4xcos(nx),dx =2piintegral0^picos^4xcos(nx),dx
Pela ortogonalidade, só a0,a2,a4 podem ser não nulos.
1. a0=1piintegral-pi^picos^4x,dx =2piintegral0^picos^4x,dx =2picdot3pi8 =34 2. Para n=2:
a2 =2piintegral0^picos^4xcos2x,dx =12 (usando produto-para-soma ou a identidade que vamos achar)
3. Para n=4:
a4 =2piintegral0^picos^4xcos4x,dx =18
– Conclui-se que
cos^4x =a02+a2cos2x+a4cos4x =38+12cos2x+18cos4x

Resposta

boxed cos^4x =38 +12cos(2x) +18cos(4x)

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