1. Sejam e constantes com . Determine o(s) intervalo(s) onde é decrescente e o(s) intervalo(s) onde tem concavidade para cima, sendo:
Inicialmente, vamos calcular a derivada de :
Vamos determinar os pontos críticos de :
Estudo do sinal de :
Intervalo
Sinal de + - +
Comportamento de crescente decrescente crescente
Calculando a derivada segunda de , temos:
Estudo do sinal de :
Intervalo
Sinal de - +
Concavidade de para baixo para cima

Passo 1

Resumindo: queremos achar onde a função
f(x)=x^33-(a+b),x^22+a b,x+a^2+b^2
é decrescente e onde tem concavidade para cima. O conteúdo que vamos usar é o cálculo da derivada primeira para monotonicidade e da derivada segunda para concavidade.

Passo 2

Calculemos a derivada primeira:
f'(x)=ddxl(tfracx^33r)-ddxl((a+b),tfracx^22r)+ddx(ab,x)+ddx(a^2+b^2)
f'(x)=x^2-(a+b),x+ab
Para encontrar os pontos críticos, resolvemos
f'(x)=0;Longrightarrow;x^2-(a+b),x+ab=0,
cuja soma de raízes é a+b e o produto é ab. Logo, as raízes são x=a e x=b.

Passo 3

Agora estudamos o sinal de f'(x). Como a<b, a parábola x^2-(a+b)x+ab abre para cima e muda de sinal em x=a e x=b. Logo:
(- infty,a): f'!>,0 Rightarrow crescente
(a,b): f'!<,0 Rightarrow decrescente
(b, infty): f'!>,0 Rightarrow crescente
Portanto, f é decrescente em ,(a,b).

Passo 4

Calculemos a derivada segunda para a concavidade:
f''(x)=ddxl(x^2-(a+b)x+abr)=2x-(a+b)
O ponto em que f''(x)=0 é
2x-(a+b)=0;Longrightarrow;x=a+b2
Como o coeficiente de x em f'' é positivo, temos:
,x<tfraca+b2: f''<0 Rightarrow concava para baixo
,x>tfraca+b2: f''>0 Rightarrow concava para cima

Resposta

f é decrescente em ,(a,b).
f tem concavidade para cima em l(tfraca+b2,inftyr).

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