- Sejam
e
constantes com
. Determine o(s) intervalo(s) onde
é decrescente e o(s) intervalo(s) onde
tem concavidade para cima, sendo:
Inicialmente, vamos calcular a derivada de
:
Vamos determinar os pontos críticos de
:
Estudo do sinal de
:
Intervalo
Sinal de
+
-
+
Comportamento de
crescente
decrescente
crescente
Calculando a derivada segunda de
, temos:
Estudo do sinal de
:
Intervalo
Sinal de
-
+
Concavidade de
para baixo
para cima
Intervalo |
|
|
|
Sinal de
|
+ | - | + |
Comportamento de
|
crescente | decrescente | crescente |
Intervalo |
|
|
Sinal de
|
- | + |
Concavidade de
|
para baixo | para cima |
Passo 1
Resumindo: queremos achar onde a função
é decrescente e onde tem concavidade para cima. O conteúdo que vamos usar é o cálculo da derivada primeira para monotonicidade e da derivada segunda para concavidade.
Passo 2
Calculemos a derivada primeira:
Para encontrar os pontos críticos, resolvemos
cuja soma de raízes é
e o produto é
. Logo, as raízes são
e
.
Passo 3
Agora estudamos o sinal de
. Como
, a parábola
abre para cima e muda de sinal em
e
. Logo:
(- ,a):
crescente
(a,b): decrescente
(b, ):
crescente
Portanto, é decrescente em
.
(-
(a,b):
(b,
Portanto,
Passo 4
Calculemos a derivada segunda para a concavidade:
O ponto em que
é
Como o coeficiente de
em
é positivo, temos:
:
concava para baixo
:
concava para cima