Escreva cada função na forma f(g(x)) e use a regra da cadeia para obter as derivadas abaixo:
g) y=raiz[4]1+2 x+x^2;

Passo 1

O enunciado pede para escrever a função y=raiz[4]1+2x+x^2 na forma f(g(x)) e depois usar a regra da cadeia para derivar. O conteúdo aqui é aplicação da regra da cadeia em funções compostas, e vamos precisar identificar a função externa f(u) e a interna g(x).

Passo 2

Vamos definir a parte interna g(x) e a parte externa f(u). A função interna fica
g(x)=1+2x+x^2
e a externa, em termos de u, é
f(u)=u^1/4

Passo 3

Agora vamos derivar cada uma. Primeiro, a derivada de f(u)=u^1/4 em relação a u é
f'(u)=14,u^-3/4

Passo 4

Em seguida, a derivada de g(x)=1+2x+x^2 em relação a x é
g'(x)=2+2x

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia, obtemos
dydx=f'(g(x))cdot g'(x)=14l(g(x)r)^-3/4cdot(2+2x)
Substituindo g(x)=1+2x+x^2, vem
dydx=14(1+2x+x^2)^-3/4(2x+2)

Passo 6

Podemos simplificar fatorando 2 em 2x+2=2(x+1) e reduzindo com o 4:
dydx=2(x+1)4(1+2x+x^2)^-3/4=x+12(1+2x+x^2)^-3/4

Resposta

y'=x+12(1+2x+x^2)^3/4

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