Verifique que as soluções e são soluções da equação diferencial dada. Elas constituem um conjunto fundamental de soluções? ,
Passo 1
Temos a equação diferencial de segunda ordem
no intervalo . Precisamos (a) verificar que
são soluções; e (b) checar se é um conjunto fundamental, isto é, se são linearmente independentes em . Para isso vamos calcular derivadas, fazer a substituição na equação e depois usar o Wronskiano.
Passo 2
Verificação de .
Calculemos
Substituindo em obtemos
Logo satisfaz a equação.
Passo 3
Verificação de .
Calculemos
Substituindo em , temos
Como , o termo vira . Assim
Portanto também satisfaz a equação.
Passo 4
Conjunto fundamental e Wronskiano.
Duas soluções formam um conjunto fundamental em se são linearmente independentes ali, o que acontece exatamente quando o Wronskiano
é diferente de zero para todo xin(0,pi).
Passo 5
Cálculo do Wronskiano.
Para y1=x e y2=sin x,
W(x)= x & sin x 1 & cos x = xcos x - sin x
Defina g(x)=sin x - xcos x. Então
g'(x)=cos x - (cos x - xsin x)=xsin x>0
em (0,pi), e g(0)=0. Segue que g(x)>0 para x>0, isto é,
sin x - xcos x>0 Longrightarrow xcos x - sin x<0 forall xin(0,pi)
Em particular W(x)neq0 em todo (0,pi). Assim y1,y2 são linearmente independentes ali.
Resposta
As funções y1(x)=x e y2(x)=sin x satisfazem a equação diferencial, e o Wronskiano W(x)=xcos x-sin x nunca se anula em (0,pi). Portanto y1,y2 é um conjunto fundamental de soluções em (0,pi).