Verifique que as soluções y1 e y2 são soluções da equação diferencial dada. Elas constituem um conjunto fundamental de soluções?
(1-x cotg x) y^prime prime-x y^prime+y=0,
0<x<pi, y1(x)=x, y2(x)=sen x

Passo 1

Temos a equação diferencial de segunda ordem
(1 - xcot x),y'' ;-; x,y' ;+; y ;=;0,
no intervalo 0<x<pi. Precisamos (a) verificar que
y1(x)=x, y2(x)=sin x
são soluções; e (b) checar se y1,y2 é um conjunto fundamental, isto é, se são linearmente independentes em (0,pi). Para isso vamos calcular derivadas, fazer a substituição na equação e depois usar o Wronskiano.

Passo 2

Verificação de y1(x)=x.
Calculemos
y1'(x)=1, y1''(x)=0
Substituindo em
(1 - xcot x),y1'' - x,y1' + y1 obtemos
(1 - xcot x)cdot 0 ;-; xcdot1 ;+; x ;=;-x + x ;=;0
Logo y1 satisfaz a equação.

Passo 3

Verificação de y2(x)=sin x.
Calculemos
y2'(x)=cos x, y2''(x)=-sin x
Substituindo em
(1 - xcot x),y2'' - x,y2' + y2, temos
(1 - xcot x)(-sin x);-; xcos x;+;sin x =;-,sin x + xcot x,sin x - xcos x + sin x
Como cot x=cos xsin x, o termo xcot x,sin x vira xcos x. Assim
-,sin x + xcos x - xcos x + sin x = 0
Portanto y2 também satisfaz a equação.

Passo 4

Conjunto fundamental e Wronskiano.
Duas soluções y1,y2 formam um conjunto fundamental em (0,pi) se são linearmente independentes ali, o que acontece exatamente quando o Wronskiano
W(x)= y1 & y2 y1'& y2'
é diferente de zero para todo xin(0,pi).

Passo 5

Cálculo do Wronskiano.
Para y1=x e y2=sin x,
W(x)= x & sin x 1 & cos x = xcos x - sin x
Defina g(x)=sin x - xcos x. Então
g'(x)=cos x - (cos x - xsin x)=xsin x>0
em (0,pi), e g(0)=0. Segue que g(x)>0 para x>0, isto é,
sin x - xcos x>0 Longrightarrow xcos x - sin x<0 forall xin(0,pi)
Em particular W(x)neq0 em todo (0,pi). Assim y1,y2 são linearmente independentes ali.

Resposta

As funções y1(x)=x e y2(x)=sin x satisfazem a equação diferencial, e o Wronskiano W(x)=xcos x-sin x nunca se anula em (0,pi). Portanto y1,y2 é um conjunto fundamental de soluções em (0,pi).

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