Use a regra da cadeia para obter a derivada.
c) f(t)=e^-3 t cos (3 t);

Passo 1

O enunciado pede a derivada de ,f(t)=e^-3tcos(3t), usando regra da cadeia. Note que é um produto de duas funções:
,u(t)=e^-3t e ,v(t)=cos(3t).
Para resolver, vamos usar a regra do produto e depois aplicar regra da cadeia em cada fator.

Passo 2

Aplicamos a regra do produto:
f'(t) = u'(t),v(t) + u(t),v'(t)

Passo 3

Calculamos u'(t) por regra da cadeia. Como u(t)=e^-3t,
u'(t)=ddte^-3t = -3,e^-3t

Passo 4

Calculamos v'(t) também por regra da cadeia. Como v(t)=cos(3t),
v'(t)=ddtcos(3t) = -sin(3t)cdot3 = -3,sin(3t)

Passo 5

Substituindo u'(t) e v'(t) na regra do produto:
f'(t)=(-3,e^-3t)cos(3t) + e^-3t(-3,sin(3t))
Fatorando -3,e^-3t:
f'(t) = -3,e^-3tl(cos(3t) + sin(3t)r)

Resposta

f'(t) = -3,e^-3tl(cos(3t) + sin(3t)r)

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