(0,1 pt) Em relação ao conjunto X=(0,1) * \cup\{2\}, marque a opção verdadeira:
◯ 2 é ponto de acumulação de X;
◯ 1 é ponto aderente a X;
◯ X é fechado;
◯ 1 é ponto interior de X;
◯ X é aberto.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto X = (0,1)\cup\{2\} e pede que eu marque a opção verdadeira entre:
\;2 é ponto de acumulação de X;\quad
\;1 é ponto aderente a X;\quad
X é fechado;\quad
\;1 é ponto interior de X;\quad
X é aberto.
Informações relevantes dadas: X é a união do intervalo aberto (0,1) com o ponto isolado \{2\}. Não há outras figuras ou dados ocultos.

Passo 2

Definição útil 1 — ponto de acumulação (ou ponto-limite): um ponto x_0 é ponto de acumulação de um conjunto A se, para todo \varepsilon>0, a vizinhança (x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon) contém algum ponto de A diferente de x_0. Em outras palavras, existem pontos de A arbitrariamente próximos a x_0, distintos de x_0.
Exemplo rápido para fixar: o ponto 0 é ponto de acumulação de (0,1) porque, para qualquer \varepsilon>0, existem números positivos menores que \varepsilon que pertencem a (0,1).

Passo 3

Aplicando a definição ao ponto \;2 em X. Seja \varepsilon=\tfrac{1}{2}. A vizinhança (2-\varepsilon,2+\varepsilon)=(1,2,5) — escrevo de modo conceitual — contém o ponto 2, mas não contém nenhum outro ponto de X, porque X apenas tem pontos em (0,1) (todos < 1) e o ponto 2. Então existe uma vizinhança de 2 que não contém pontos de X diferentes de 2. Portanto, por definição, \;2 NÃO é ponto de acumulação de X.
Comentário intuitivo: o ponto 2 é um ponto isolado de X, não um limite de outros pontos de X.

Passo 4

Definição útil 2 — ponto aderente (ou ponto de aderência): um ponto x_0 é aderente a A se, para todo \varepsilon>0, a vizinhança (x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon) tem interseção com A. Aqui é permitido que o único ponto da interseção seja o próprio x_0. Em termos: x_0 pertence à aderência (fecho) de A se toda vizinhança de x_0 encontra A.
Observação: todo ponto de acumulação é aderente, mas um ponto aderente pode não ser ponto de acumulação (por exemplo, um ponto do próprio conjunto isolado).

Passo 5

Aplicando ao ponto \;1. Para qualquer \varepsilon>0 a vizinhança (1-\varepsilon,1+\varepsilon) intersecta (0,1) porque existem números menores que 1 e arbitrariamente próximos de 1 (por exemplo 1-\tfrac{\varepsilon}{2} se \varepsilon<1). Logo, toda vizinhança de 1 contém pontos de X (mesmo que 1\notin X). Assim \;1 é ponto aderente de X.
Comentário: 1 é um ponto de fronteira do intervalo (0,1); embora 1 não esteja em X, ele é limite de pontos de (0,1), então está na aderência de X.

Passo 6

Definição útil 3 — conjunto fechado: um conjunto A é fechado se contém todos os seus pontos de acumulação (ou equivalentemente contém sua aderência). Em particular, se existe algum ponto-limite de A que não pertence a A, então A não é fechado.
Aplicando a X: o intervalo (0,1) tem pontos de acumulação 0 e 1. O ponto 0 não pertence a X (nem 1 pertence), então X não contém todos os seus pontos de acumulação. Portanto X NÃO é fechado.

Passo 7

Definição útil 4 — ponto interior: um ponto x_0 é ponto interior de A se existe \varepsilon>0 tal que (x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon)\subset A. Ou seja, há uma vizinhança inteira ao redor de x_0 contida em A.
Aplicando a \;1: qualquer vizinhança de 1 contém números maiores que 1 (por exemplo 1+\tfrac{\varepsilon}{2}), e tais números maiores que 1 não pertencem a (0,1); o único outro ponto de X maior que 1 é 2, mas pontos entre 1 e 2 não estão em X. Assim não existe \varepsilon>0 com (1-\varepsilon,1+\varepsilon)\subset X. Conclusão: \;1 NÃO é ponto interior de X.

Passo 8

Verificação se X é aberto: um conjunto é aberto se todo ponto sua é ponto interior. Em X, os pontos de (0,1) são interiores (porque (0,1) é aberto), mas o ponto 2\in X não é ponto interior (qualquer pequena vizinhança de 2 contém pontos não pertencentes a X). Logo nem todo ponto de X é interior, portanto X NÃO é aberto.

Resposta

1 é ponto aderente a X.

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