(0,1 pt) Em relação ao conjunto
*
, marque a opção verdadeira:
◯ 2 é ponto de acumulação de X;
◯ 1 é ponto aderente a X;
◯ X é fechado;
◯ 1 é ponto interior de X;
◯ X é aberto.
◯ 2 é ponto de acumulação de X;
◯ 1 é ponto aderente a X;
◯ X é fechado;
◯ 1 é ponto interior de X;
◯ X é aberto.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
e pede que eu marque a opção verdadeira entre:
é ponto de acumulação de
;\quad
é ponto aderente a
;\quad
é fechado;\quad
é ponto interior de
;\quad
é aberto.
Informações relevantes dadas:
é a união do intervalo aberto
com o ponto isolado
. Não há outras figuras ou dados ocultos.
Passo 2
Definição útil 1 — ponto de acumulação (ou ponto-limite): um ponto
é ponto de acumulação de um conjunto
se, para todo
, a vizinhança
contém algum ponto de
diferente de
. Em outras palavras, existem pontos de
arbitrariamente próximos a
, distintos de
.
Exemplo rápido para fixar: o ponto
é ponto de acumulação de
porque, para qualquer
, existem números positivos menores que
que pertencem a
.
Passo 3
Aplicando a definição ao ponto
em
. Seja
. A vizinhança
— escrevo de modo conceitual — contém o ponto
, mas não contém nenhum outro ponto de
, porque
apenas tem pontos em
(todos <
) e o ponto
. Então existe uma vizinhança de
que não contém pontos de
diferentes de
. Portanto, por definição,
NÃO é ponto de acumulação de
.
Comentário intuitivo: o ponto
é um ponto isolado de
, não um limite de outros pontos de
.
Passo 4
Definição útil 2 — ponto aderente (ou ponto de aderência): um ponto
é aderente a
se, para todo
, a vizinhança
tem interseção com
. Aqui é permitido que o único ponto da interseção seja o próprio
. Em termos:
pertence à aderência (fecho) de
se toda vizinhança de
encontra
.
Observação: todo ponto de acumulação é aderente, mas um ponto aderente pode não ser ponto de acumulação (por exemplo, um ponto do próprio conjunto isolado).
Passo 5
Aplicando ao ponto
. Para qualquer
a vizinhança
intersecta
porque existem números menores que
e arbitrariamente próximos de
(por exemplo
se
). Logo, toda vizinhança de
contém pontos de
(mesmo que
). Assim
é ponto aderente de
.
Comentário:
é um ponto de fronteira do intervalo
; embora
não esteja em
, ele é limite de pontos de
, então está na aderência de
.
Passo 6
Definição útil 3 — conjunto fechado: um conjunto
é fechado se contém todos os seus pontos de acumulação (ou equivalentemente contém sua aderência). Em particular, se existe algum ponto-limite de
que não pertence a
, então
não é fechado.
Aplicando a
: o intervalo
tem pontos de acumulação
e
. O ponto
não pertence a
(nem
pertence), então
não contém todos os seus pontos de acumulação. Portanto
NÃO é fechado.
Passo 7
Definição útil 4 — ponto interior: um ponto
é ponto interior de
se existe
tal que
. Ou seja, há uma vizinhança inteira ao redor de
contida em
.
Aplicando a
: qualquer vizinhança de
contém números maiores que
(por exemplo
), e tais números maiores que
não pertencem a
; o único outro ponto de
maior que
é
, mas pontos entre
e
não estão em
. Assim não existe
com
. Conclusão:
NÃO é ponto interior de
.
Passo 8
Verificação se
é aberto: um conjunto é aberto se todo ponto sua é ponto interior. Em
, os pontos de
são interiores (porque
é aberto), mas o ponto
não é ponto interior (qualquer pequena vizinhança de
contém pontos não pertencentes a
). Logo nem todo ponto de
é interior, portanto
NÃO é aberto.