Escreva cada uma das integrais abaixo na ordem
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para reescrever a integral tripla dada na ordem $ d z, d y, d x $. Isso envolve entender como mudar a ordem de integração mantendo os limites corretos. Vamos usar conceitos de cálculo integral e geometria para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a integral original:
Aqui, a ordem de integração é $ dx $ dentro de $ dy $ dentro de $ dz $. Isso significa que:
- Para cada valor de $ z $ entre 0 e 1,
- $ y $ varia de 1 a 3,
- E para cada combinação de $ y $ e $ z $, $ x $ varia de 4 a 5.
Passo 3
Queremos mudar a ordem para $ d z, d y, d x $. Isso significa que agora:
- Para cada valor de $ x $ entre seus limites,
- $ y $ varia dentro de certos limites que podem depender de $ x $,
- E para cada combinação de $ x $ e $ y $, $ z $ varia dentro de certos limites que podem depender de $ x $ e $ y $.
Passo 4
No caso desta integral, os limites de $ x $, $ y $ e $ z $ são independentes, ou seja, eles não dependem uns dos outros. Especificamente:
- $ x $ varia de 4 a 5,
- $ y $ varia de 1 a 3,
- $ z $ varia de 0 a 1.
Como os limites são constantes e não dependem de nenhuma variável, podemos simplesmente reorganizar a ordem das integrais sem alterar os limites.
Passo 5
Então, reescrevendo a integral na ordem $ d z, d y, d x $, temos: