Faça o esboço da região delimitada pelas curvas e calcule a sua área.
y=ln (x), x=1, x=e e o eixo x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa desenhar a região que é limitada pelas curvas $ y = \ln(x) $, $ x = 1 $, $ x = e $ e pelo eixo $ x $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, mais especificamente de integrais para encontrar a área dessa região.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são essas curvas:
  • $ y = \ln(x) $: É a função logarítmica natural, que passa pelo ponto (1,0) e cresce lentamente à medida que $ x $ aumenta.
  • $ x = 1 y = ln(x) x = e $: São linhas verticais no plano, correspondendo aos valores de $ x $.
  • Eixo $ x $: A linha onde $ y = 0 $.
A região que queremos é aquela que está entre $ x = 1 $ e $ x = e $, acima do eixo $ x $ e abaixo de $ y = \ln(x) $.

Passo 3

Para encontrar a área dessa região, vamos calcular a integral definida da função $ \ln(x) $ entre $ x = 1 $ e $ x = e $. A fórmula para a área $ A $ será:
ln(x)

Passo 4

Agora, precisamos resolver a integral $ \int \ln(x) , dx $. Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
integral ln(x) , dx
Escolhemos:
  • $ u = \ln(x) $ ⇒ $ du = \frac{1}{x} , dx $
  • $ dv = dx $ ⇒ $ v = x $
Aplicando a fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a $ e $:
e
Sabemos que:
  • $ \ln(e) = 1 $
  • $ \ln(1) = 0 $
Substituindo:
A = [ x ln(x) - x ]1^e = ( e ln(e) - e ) - ( 1 ln(1) - 1 )

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é igual a 1.

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