Faça o esboço da região delimitada pelas curvas e calcule a sua área.
e o eixo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa desenhar a região que é limitada pelas curvas $ y = \ln(x) $, $ x = 1 $, $ x = e $ e pelo eixo $ x $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, mais especificamente de integrais para encontrar a área dessa região.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são essas curvas:
- $ y = \ln(x) $: É a função logarítmica natural, que passa pelo ponto (1,0) e cresce lentamente à medida que $ x $ aumenta.
- $ x = 1
x = e $: São linhas verticais no plano, correspondendo aos valores de $ x $. - Eixo $ x $: A linha onde $ y = 0 $.
A região que queremos é aquela que está entre $ x = 1 $ e $ x = e $, acima do eixo $ x $ e abaixo de $ y = \ln(x) $.
Passo 3
Para encontrar a área dessa região, vamos calcular a integral definida da função $ \ln(x) $ entre $ x = 1 $ e $ x = e $. A fórmula para a área $ A $ será:
Passo 4
Agora, precisamos resolver a integral $ \int \ln(x) , dx $. Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
Escolhemos:
- $ u = \ln(x) $ ⇒ $ du = \frac{1}{x} , dx $
- $ dv = dx $ ⇒ $ v = x $
Aplicando a fórmula:
Passo 5
Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a $ e $:
Sabemos que:
- $ \ln(e) = 1 $
- $ \ln(1) = 0 $
Substituindo:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas é igual a 1.