Determine os pontos que estão mais próximos e mais longe da origem para:
a elipse: formada pelo interseção do plano x+y+2 z=2 com o paraboloide z=x^{2}+y^{2}.
a curva: formada pela interseção do cilindro x^{2}+y^{2}=2 x e o plano x+2 y+z=4.
os pontos do espaço \mathbb{R}^{3} tais que: x^{2}+y^{2}=4 e x+y+z=1.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e todas as informações dadas (cada item eu pego do enunciado).
Item (a) — elipse:
A curva é a interseção do plano \;x+y+2z=2\; com o paraboloide \;z=x^{2}+y^{2}.
Pede: determinar os pontos dessa curva que estão mais próximos e mais longe da origem.
Item (b) — curva no cilindro:
A curva é a interseção do cilindro \;x^{2}+y^{2}=2x\; com o plano \;x+2y+z=4.
Pede: determinar os pontos dessa curva que estão mais próximos e mais longe da origem.
Item (c) — conjunto no espaço:
Os pontos satisfazem \;x^{2}+y^{2}=4\; e \;x+y+z=1.
Pede: determinar os pontos (daquele conjunto) que estão mais próximos e mais longe da origem.
Para todos os itens vamos medir distância pela distância euclidiana ao quadrado, que é mais simples de otimizar:
\text{seja }F(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}.
Minimizar/maximizar F equivale a minimizar/maximizar a distância (a raiz quadrada é monotônica). A resolução começa agora.
Passo 2
Conceito-ferramenta (rápida aula): multiplicadores de Lagrange para otimização com restrições.
Se queremos otimizar F(x,y,z) sujeito a uma restrição g(x,y,z)=0, procuramos pontos em que \nabla F=\lambda \nabla g.
Se há duas restrições g(x,y,z)=0 e h(x,y,z)=0, usamos dois multiplicadores e procuramos \nabla F=\lambda \nabla g+\mu \nabla h junto com g=0,h=0.
Isto é porque em um ponto de extremo restrito o gradiente de F precisa estar no espaço gerado pelos gradientes das restrições (ortogonal ao espaço tangente à variedade das restrições).
Vou aplicar isso no item (a) (duas restrições) e no item (b) farei uma redução/prametrização (pois o cilindro é um círculo no plano z-livre) — explicarei por que escolhi cada método.
Passo 3
Item (a) — montar o sistema (Lagrange com duas restrições).
Mas se \mu=1 então das primeiras equações 2x=\lambda+2x implica \lambda=0. Comparando \lambda=0 e \lambda=(2z+1)/2 dá 2z+1=0\Rightarrow z=-\tfrac12. Isso contradiz a restrição x^{2}+y^{2}-z=0 porque x^{2}+y^{2}=-\tfrac12 é impossível. Logo \mu=1 não gera solução real.
Logo devemos ter x=y. Substituindo y=x na restrição h:
Agora queremos minimizar/maximizar F(r(t)), sendo função de t:
D(t)=F(r(t))=x^{2}+y^{2}+z^{2}.
Observação útil (pegada do enunciado): pela equação do cilindro temos x^{2}+y^{2}=2x, então ao calcular D podemos usar x^{2}+y^{2}=2(1+\cos t)=2+2\cos t — reduz trabalho.
Passo 7
Derivar D(t) e condição de extremo (explicando a ideia).
Expressão:
D(t)=2+2\cos t + \big(3-\cos t-2\sin t\big)^{2}.
Extremos em curvas parametricas ocorrem quando D'(t)=0. Outra interpretação geométrica (útil de aprender): D'(t)=2\, r(t)\cdot r'(t), então extremos acontecem quando r(t) é ortogonal a r'(t) (o vetor posição é perpendicular à velocidade).
Vou simplificar e escrever a condição explícita (mostrando como derivar sem pular passos). Diferenciando:
D'(t) = -2\sin t + 2\big(3-\cos t-2\sin t\big)\cdot(\sin t -2\cos t).
(Isto vem do produto e da cadeia; se quiser, pode expandir o quadrado e derivar termo a termo.)
A equação D'(t)=0 é não-linear; procedemos encontrando suas raízes no intervalo [0,2\pi). Uma das raízes é imediata por simetria: t=\tfrac{\pi}{2} (vou mostrar porque e avaliar). Para as demais raízes aplicamos uma busca numérica controlada (padrão aceitável em provas quando surgem equações trigonométricas sem fatoração óbvia). Vou explicar e mostrar os valores obtidos com quatro casas decimais.
Passo 8
Encontrar as raízes e avaliar pontos (item b) — cálculo e interpretação.
Verificação direta:
Para t=\tfrac{\pi}{2}: \cos t=0,\\ \sin t=1.
x=1+0=1,\\ y=1,\\ z=3-0-2=1. Ponto Q_1=(1,1,1).
D\big(\tfrac{\pi}{2}\big)=1+1+1=3.
Essa é uma candidata óbvia e, verificando o sinal de D' em torno, é um mínimo (pequena varredura numérica mostra que D aumenta para t próximos).
Para o máximo há uma outra raiz t\approx 4{,}318 rad (achei-a por busca numérica entre 4{,}2 e 4{,}4, refinando). Usando t\approx 4{,}318 obtenho:
ponto mais próximo (mínimo): Q_{\min}=(1,1,1) com D=3.
ponto mais longe (máximo): aproximadamente Q_{\max}\approx(0{,}6173,\,-0{,}9239,\,5{,}2305) com D\approx 28{,}5926.
(Comentário didático: eu escolhi parametrizar o círculo porque reduz o problema a uma função de uma variável; resolver analiticamente a equação trigonométrica resulta em uma equação complicada, aí a busca numérica é prática e aceita — em prova, dependendo do enunciado, pode-se aceitar solução numérica com justificativa.)
Passo 9
Item (c) — resolver de forma exata (muito direto usando linearidade).
Dados (peguei do enunciado):
x^{2}+y^{2}=4,\qquad x+y+z=1.
Queremos otimizar F=x^{2}+y^{2}+z^{2}. Como x^{2}+y^{2}=4 é fixo,
F=4+z^{2}=4+(1-x-y)^{2}.
Logo otimizar F é o mesmo que otimizar (1-x-y)^{2}, isto é, minimizar/maximizar |1-(x+y)| com (x,y) variando no círculo x^{2}+y^{2}=4.
O segmento de valores possíveis de L=x+y sobre o círculo é conhecido: o máximo de x+y é 2\sqrt{2} e o mínimo é -2\sqrt{2} (porque x+y é o produto escalar (x,y)\cdot(1,1), e o máximo absoluto é o produto de normas: \|(1,1)\| \cdot 2 = \sqrt{2}\cdot 2). Assim
-2\sqrt{2}\le x+y\le 2\sqrt{2}.
Para encontrar o mínimo de F buscamos o menor |1-(x+y)|. Como o intervalo de x+y contém o valor 1 (pois -2.828\le 1\le 2.828), existe ponto(s) com x+y=1 e então (1-x-y)=0. Portanto o mínimo de F é 4 e ocorre quando
Para o máximo de F buscamos o máximo de |1-(x+y)|. O valor absoluto máximo ocorre em x+y=-2\sqrt{2} (porque isso dá 1-(-2\sqrt{2})=1+2\sqrt{2}, que tem maior módulo que 1-2\sqrt{2}). Portanto o ponto que atinge isso é o que está na direção negativa de (1,1) sobre o círculo de raio 2: (x,y)=2\cdot(-\tfrac{1}{\sqrt2},-\tfrac{1}{\sqrt2})=(-\sqrt2,-\sqrt2). Então
(a) Mais próximo: \big(\tfrac12,\tfrac12,\tfrac12\big). Mais longe: (-1,-1,2).
(b) Mais próximo: (1,1,1). Mais longe (aprox.): (0{,}6173,\,-0{,}9239,\,5{,}2305).
(c) Mais próximos: \big(\tfrac{1+\sqrt7}{2},\tfrac{1-\sqrt7}{2},0\big) e \big(\tfrac{1-\sqrt7}{2},\tfrac{1+\sqrt7}{2},0\big). Mais longe: \big(-\sqrt2,-\sqrt2,\,1+2\sqrt2\big).