Converta para base decimal cada um dos seguintes números:
(3,12)_{5}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede-se: converter para base decimal o número (3,12)_{5}.
  • Dados: o número está na base 5. Os dígitos são:
    • parte inteira: 3,
    • parte fracionária: os dígitos 1 e 2 (na ordem imediatamente após a vírgula).
  • Observação importante: em base 5 os dígitos válidos são 0,1,2,3,4. Aqui todos os dígitos são válidos.

Passo 2

Entendendo a regra de conversão (a “receita” passo a passo).
  • Qualquer número escrito numa base b pode ser interpretado como soma de dígitos multiplicados por potências de b.
  • Se escrevermos um número na base b como
\ldots a_{2}a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}\ldots
isso significa que seu valor em decimal é
\sum_{k=-m}^{n} a_{k}\,b^{k},
onde cada a_{k} é um dígito (um inteiro entre 0 e b-1), b é a base, índices não nulos representam posições, k=0 é a posição das unidades, k=1 é a posição das b-umas, e valores negativos de k representam casas fracionárias: k=-1 é b^{-1} (uma casa depois da vírgula), k=-2 é b^{-2}, e assim por diante.
  • Explicando cada símbolo:
    • a_k: dígito na posição k.
    • b: base do sistema (aqui b=5).
    • b^k: potência de b que indica o valor da posição k.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao inteiro da parte inteira do número.
  • Nosso número é (3,12)_{5}. A parte inteira tem apenas o dígito 3 na posição k=0.
  • Contribuição da parte inteira:
3 \cdot 5^{0} = 3 \cdot 1 = 3.

Passo 4

Aplicando a fórmula às casas fracionárias (explicando as posições).
  • O primeiro dígito após a vírgula é 1. Essa é a posição k=-1, que vale 5^{-1}=\dfrac{1}{5}.
  • O segundo dígito após a vírgula é 2. Essa é a posição k=-2, que vale 5^{-2}=\dfrac{1}{25}.
  • Contribuições das casas fracionárias:
1\cdot 5^{-1} = 1\cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{5},
2\cdot 5^{-2} = 2\cdot \frac{1}{25} = \frac{2}{25}.

Passo 5

Somando tudo e simplificando (faça isso devagar na prova).
  • Somando as três contribuições:
3 + \frac{1}{5} + \frac{2}{25}.
  • Colocar em denominador comum 25:
\frac{1}{5} = \frac{5}{25},
portanto
3 + \frac{5}{25} + \frac{2}{25} = 3 + \frac{7}{25}.
  • Transformando em fração única:
3 + \frac{7}{25} = \frac{75}{25} + \frac{7}{25} = \frac{82}{25}.
  • Convertendo a fração para decimal (dividindo 82 por 25):
\frac{82}{25} = 3,28.
(Explicação rápida da divisão: 25\cdot 3 = 75, sobra 7; 7/25 = 0,28, logo total 3,28.)

Resposta

\dfrac{82}{25} = 3,28

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