Escreva cada permutação como produto de ciclos disjuntos e calcule sua ordem.
\gamma=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}1 & 4 & 5\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado dá a permutação
\gamma=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}1 & 4 & 5\end{array}\right)
e pede duas coisas:
  • escrever \gamma como produto de ciclos disjuntos;
  • calcular a ordem de \gamma.
Informações úteis extraídas do enunciado:
  • As duas ciclos envolvem os elementos 1,2,3,4,5.
  • Presume‑se a convenção usual de composição de permutações: o ciclo mais à direita atua primeiro.

Passo 2

Explicando como trabalhar com ciclos (passo didático, sem pular etapas).
  • Um ciclo \left(a\\ b\\ c\right) é a permutação que envia a\mapsto b, b\mapsto c e c\mapsto a; qualquer elemento não listado fica fixo.
  • O produto \sigma\tau significa: primeiro aplica‑se \tau, depois aplica‑se \sigma. Aqui \gamma=(1\\\ 2\\\ 3)(1\\\ 4\\\ 5) significa que se aplica primeiro (1\\\ 4\\\ 5) e depois (1\\\ 2\\\ 3).
  • Para escrever em ciclos disjuntos, calcule a imagem de cada elemento 1,2,3,4,5 por \gamma e agrupe os orbitas.

Passo 3

Calcular imagens elemento a elemento mostrando todas as etapas.
  • Primeiro, recordando os dois ciclos isoladamente:
    • (1\\\ 4\\\ 5) age como \;1\mapsto4,\;4\mapsto5,\;5\mapsto1,\;2\mapsto2,\;3\mapsto3.
    • (1\\\ 2\\\ 3) age como \;1\mapsto2,\;2\mapsto3,\;3\mapsto1,\;4\mapsto4,\;5\mapsto5.
  • Agora \gamma=(1\\\ 2\\\ 3)\circ(1\\\ 4\\\ 5). Para cada x calcule \gamma(x)=(1\\\ 2\\\ 3)\big((1\\\ 4\\\ 5)(x)\big).
Compute explicitamente:
  • Para x=1: (1\\\ 4\\\ 5)(1)=4. Depois (1\\\ 2\\\ 3)(4)=4. Logo \gamma(1)=4.
  • Para x=4: (1\\\ 4\\\ 5)(4)=5. Depois (1\\\ 2\\\ 3)(5)=5. Logo \gamma(4)=5.
  • Para x=5: (1\\\ 4\\\ 5)(5)=1. Depois (1\\\ 2\\\ 3)(1)=2. Logo \gamma(5)=2.
  • Para x=2: (1\\\ 4\\\ 5)(2)=2. Depois (1\\\ 2\\\ 3)(2)=3. Logo \gamma(2)=3.
  • Para x=3: (1\\\ 4\\\ 5)(3)=3. Depois (1\\\ 2\\\ 3)(3)=1. Logo \gamma(3)=1.

Passo 4

Construir os ciclos disjuntos a partir das imagens (seguindo orbitas).
  • Começando em 1: 1\mapsto4\mapsto5\mapsto2\mapsto3\mapsto1. Isso forma o ciclo \left(1\\\ 4\\\ 5\\\ 2\\\ 3\right).
  • Todos os elementos 1,2,3,4,5 aparecem nesse ciclo; não resta nenhum elemento não fixo. Portanto \gamma é um único ciclo de comprimento 5.

Passo 5

Explicação didática sobre ciclos disjuntos e verificação rápida.
  • Ciclos disjuntos são ciclos que não compartilham elementos; aqui há só um ciclo, logo já está na forma disjunta.
  • Verificação rápida: a tabela de imagens que obtivemos confirma o ciclo completo de comprimento 5.

Passo 6

Calcular a ordem de \gamma e explicar o motivo.
  • Teorema usado: a ordem de uma permutação escrita como produto de ciclos disjuntos é o mínimo m>0 tal que cada ciclo retorna à identidade, i.e., é o mínimo comum múltiplo (mcm) dos comprimentos dos ciclos.
  • Aqui temos um único ciclo de comprimento 5. Logo
    \displaystyle \text{ord}(\gamma)=\operatorname{mcm}(5)=5.
  • Intuição: aplicar \gamma cinco vezes faz cada elemento percorrer todos os 5 lugares e voltar ao original; para qualquer k<5 isso não ocorre.

Resposta

\gamma=(1\\\ 4\\\ 5\\\ 2\\\ 3)
\operatorname{ord}(\gamma)=5

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