Escreva cada permutação como produto de ciclos disjuntos e calcule sua ordem.
.
Passo 1
O enunciado dá a permutação
e pede duas coisas:
e pede duas coisas:
- escrever
como produto de ciclos disjuntos; - calcular a ordem de
.
Informações úteis extraídas do enunciado:
- As duas ciclos envolvem os elementos
. - Presume‑se a convenção usual de composição de permutações: o ciclo mais à direita atua primeiro.
Passo 2
Explicando como trabalhar com ciclos (passo didático, sem pular etapas).
- Um ciclo
é a permutação que envia , e ; qualquer elemento não listado fica fixo. - O produto
significa: primeiro aplica‑se , depois aplica‑se . Aqui significa que se aplica primeiro e depois . - Para escrever em ciclos disjuntos, calcule a imagem de cada elemento
por e agrupe os orbitas.
Passo 3
Calcular imagens elemento a elemento mostrando todas as etapas.
- Primeiro, recordando os dois ciclos isoladamente:
-
age como -
age como
-
- Agora
. Para cada calcule .
Compute explicitamente:
- Para
: . Depois . Logo . - Para
: . Depois . Logo . - Para
: . Depois . Logo . - Para
: . Depois . Logo . - Para
: . Depois . Logo .
Passo 4
Construir os ciclos disjuntos a partir das imagens (seguindo orbitas).
- Começando em
: . Isso forma o ciclo . - Todos os elementos
aparecem nesse ciclo; não resta nenhum elemento não fixo. Portanto é um único ciclo de comprimento .
Passo 5
Explicação didática sobre ciclos disjuntos e verificação rápida.
- Ciclos disjuntos são ciclos que não compartilham elementos; aqui há só um ciclo, logo já está na forma disjunta.
- Verificação rápida: a tabela de imagens que obtivemos confirma o ciclo completo de comprimento
.
Passo 6
Calcular a ordem de
e explicar o motivo.
- Teorema usado: a ordem de uma permutação escrita como produto de ciclos disjuntos é o mínimo
tal que cada ciclo retorna à identidade, i.e., é o mínimo comum múltiplo (mcm) dos comprimentos dos ciclos. - Aqui temos um único ciclo de comprimento
. Logo
- Intuição: aplicar
cinco vezes faz cada elemento percorrer todos os 5 lugares e voltar ao original; para qualquer isso não ocorre.