Escrever, quando possível, cada permutação como produto de 3-ciclos.
\alpha=\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 4 & 3\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado dá a permutação
\alpha=\left(1\;2\;4\;3\right)
e pede para escrevê-la, quando possível, como produto de 3-ciclos. Vou listar claramente o que temos:
  • A permutação é o 4-ciclo \alpha=\left(1\;2\;4\;3\right).
  • A tarefa: decidir se é possível escrever \alpha como produto de 3-ciclos; se sim, fornecer a escrita; se não, explicar por quê.

Passo 2

Para decidir isso preciso lembrar uma propriedade importante: a paridade (ou sinal) de uma permutação.
  • Qualquer k-ciclo pode ser escrito como produto de k-1 transposições pelo truque padrão:
(a_1\;a_2\;\dots\;a_k)=(a_1\;a_k)(a_1\;a_{k-1})\cdots(a_1\;a_2).
  • O sinal de uma permutação é (-1)^{\text{nº de transposições}}ºçõ. Portanto o sinal de um k-ciclo é
(-1)^{k-1}.
  • Em particular, para um 3-ciclo (a\;b\;c) temos k=3, então ele se escreve como duas transposições:
(a\;b\;c)=(a\;c)(a\;b),
portanto um 3-ciclo é uma permutação par (sinal +1).

Passo 3

Agora avalio a paridade de \alpha.
  • Usando a fórmula para decompor um 4-ciclo em transposições:
\left(1\;2\;4\;3\right)=(1\;3)(1\;4)(1\;2),
isto é, \alpha é produto de 3 transposições.
  • Logo o sinal de \alpha é
(-1)^{3}=-1,
ou seja, \alpha é uma permutação ímpar.

Passo 4

Concluo usando a paridade:
  • Cada 3-ciclo é par (como visto acima).
  • O produto de permutações pares é par (produto de sinais +1\cdot+1\cdots=+1).
  • Portanto qualquer produto de 3-ciclos é necessariamente uma permutação par.
  • Como \alpha é ímpar, não pode ser igual a um produto de 3-ciclos.

Passo 5

Resumo prático e ânimo: não dá para escrever \alpha como produto de 3-ciclos porque os 3-ciclos são todos pares e \alpha é ímpar. É uma conclusão rápida assim que se lembra da paridade — e você já matou o problema! Se quiser, posso mostrar outras decomposições (por exemplo em transposições) ou explicar mais sobre o grupo alternante A_n (que contém exatamente as permutações que são produto de 3-ciclos).

Resposta

Não é possível escrever \alpha=\left(1\;2\;4\;3\right) como produto de 3-ciclos, pois \alpha é ímpar enquanto todo 3-ciclo é par.

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