Escrever, quando possível, cada permutação como produto de 3-ciclos.
.
Passo 1
O enunciado dá a permutação
e pede para escrevê-la, quando possível, como produto de 3-ciclos. Vou listar claramente o que temos:
e pede para escrevê-la, quando possível, como produto de 3-ciclos. Vou listar claramente o que temos:
- A permutação é o 4-ciclo
. - A tarefa: decidir se é possível escrever
como produto de 3-ciclos; se sim, fornecer a escrita; se não, explicar por quê.
Passo 2
Para decidir isso preciso lembrar uma propriedade importante: a paridade (ou sinal) de uma permutação.
- Qualquer
-ciclo pode ser escrito como produto de transposições pelo truque padrão:
- O sinal de uma permutação é
. Portanto o sinal de um -ciclo é
- Em particular, para um 3-ciclo
temos , então ele se escreve como duas transposições:
portanto um 3-ciclo é uma permutação par (sinal
).
Passo 3
Agora avalio a paridade de
.
- Usando a fórmula para decompor um 4-ciclo em transposições:
isto é,
é produto de
transposições.
- Logo o sinal de
é
ou seja,
é uma permutação ímpar.
Passo 4
Concluo usando a paridade:
- Cada 3-ciclo é par (como visto acima).
- O produto de permutações pares é par (produto de sinais
). - Portanto qualquer produto de 3-ciclos é necessariamente uma permutação par.
- Como
é ímpar, não pode ser igual a um produto de 3-ciclos.
Passo 5
Resumo prático e ânimo: não dá para escrever
como produto de 3-ciclos porque os 3-ciclos são todos pares e
é ímpar. É uma conclusão rápida assim que se lembra da paridade — e você já matou o problema! Se quiser, posso mostrar outras decomposições (por exemplo em transposições) ou explicar mais sobre o grupo alternante
(que contém exatamente as permutações que são produto de 3-ciclos).
Resposta
Não é possível escrever
como produto de 3-ciclos, pois
é ímpar enquanto todo 3-ciclo é par.