Escreva cada permutação como produto de ciclos disjuntos e calcule sua ordem.
\sigma=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}2 & 3 & 5\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3\end{array}\right)^{-1}.

Passo 1

O enunciado dá a permutação
\sigma=\left(1\\\ 2\\\ 3\right)\left(2\\\ 3\\\ 5\right)\left(1\\\ 2\\\ 3\right)^{-1}.
Pede-se:
  • Escrever \sigma como produto de ciclos disjuntos.
  • Calcular a ordem de \sigma.
As informações relevantes são:
  • A permutação que conjuga é \varphi=\left(1\\\ 2\\\ 3\right).
  • A permutação conjugada é \tau=\left(2\\\ 3\\\ 5\right).
  • A expressão usa conjugação: \sigma=\varphi\,\tau\,\varphi^{-1}.

Passo 2

Vou explicar uma propriedade útil (com prova curta e intuitiva) que facilita muito: se \tau é o ciclo \left(a\\ b\\ c\right) e \varphi é qualquer permutação, então
\varphi\,\tau\,\varphi^{-1}=\bigl(\varphi(a)\\ \varphi(b)\\ \varphi\text{(c)}\bigr).
Por quê? Seja x um dos elementos \varphi(a),\varphi(b),\varphi\text{(c)}. Escrevendo x=\varphi(a), temos
\varphi\,\tau\,\varphi^{-1}(x)=\varphi\,\tau\,\varphi^{-1}\bigl(\varphi(a)\bigr)=\varphi\bigl(\tau(a)\bigr)=\varphi(b).
Então a conjugação envia \varphi(a) para \varphi(b), e de modo análogo \varphi(b) para \varphi\text{(c)} e \varphi\text{(c)} para \varphi(a): isso é exatamente o ciclo \bigl(\varphi(a)\\ \varphi(b)\\ \varphi\text{(c)}\bigr). Essa propriedade vale para ciclos de qualquer comprimento e é muito prática na prova: conjugação “renomeia” os elementos do ciclo pela aplicação de \varphi.

Passo 3

Aplicando a propriedade ao nosso caso: \tau=\left(2\\\ 3\\\ 5\right) e \varphi=\left(1\\\ 2\\\ 3\right). Primeiro calculemos \varphi em cada elemento dos quais \tau é feito:
\varphi(2)=3,\qquad \varphi(3)=1,\qquad \varphi(5)=5.
Isso porque \left(1\\\ 2\\\ 3\right) envia 1\mapsto2,\;2\mapsto3,\;3\mapsto1, e deixa 5 fixo.

Passo 4

Usando a regra de conjugação,
\sigma=\varphi\,\tau\,\varphi^{-1}=\bigl(\varphi(2)\\ \varphi(3)\\ \varphi(5)\bigr)=\bigl(3\\\ 1\\\ 5\bigr).
Podemos reescrever o mesmo ciclo começando por 1 para ficar mais padrão:
\bigl(3\\\ 1\\\ 5\bigr)=\bigl(1\\\ 5\\\ 3\bigr).
Os demais elementos (por exemplo 2 e 4) são fixos, logo a decomposição em ciclos disjuntos é simplesmente o 3-ciclo \bigl(1\\\ 5\\\ 3\bigr) (os 1-ciclos (2) e (4) normalmente são omitidos).

Passo 5

Agora a ordem. Fato básico: a ordem de uma permutação escrita como produto de ciclos disjuntos é o mínimo k>0 tal que cada ciclo elevado a k seja a identidade; isso é equivalente ao mínimo k tal que k seja múltiplo do comprimento de cada ciclo, ou seja o MMC (mínimo múltiplo comum) dos comprimentos dos ciclos disjuntos.
Aqui \sigma é um único ciclo de comprimento 3. Portanto a ordem de \sigma é 3, pois \bigl(1\\\ 5\\\ 3\bigr)^3=\mathrm{id} e nenhum expoente menor que 3 produz a identidade.

Resposta

\sigma=(1\\\ 5\\\ 3)
\operatorname{ord}(\sigma)=3

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