Escreva cada permutação como produto de ciclos disjuntos e calcule sua ordem.
.
Passo 1
O enunciado dá a permutação
.
Pede-se:
Pede-se:
- Escrever
como produto de ciclos disjuntos. - Calcular a ordem de
.
As informações relevantes são:
- A permutação que conjuga é
. - A permutação conjugada é
. - A expressão usa conjugação:
.
Passo 2
Vou explicar uma propriedade útil (com prova curta e intuitiva) que facilita muito: se
é o ciclo
e
é qualquer permutação, então
Por quê? Seja
um dos elementos
. Escrevendo
, temos
Então a conjugação envia
para
, e de modo análogo
para
e
para
: isso é exatamente o ciclo
. Essa propriedade vale para ciclos de qualquer comprimento e é muito prática na prova: conjugação “renomeia” os elementos do ciclo pela aplicação de
.
Passo 3
Aplicando a propriedade ao nosso caso:
e
. Primeiro calculemos
em cada elemento dos quais
é feito:
Isso porque
envia
, e deixa
fixo.
Passo 4
Usando a regra de conjugação,
Podemos reescrever o mesmo ciclo começando por
para ficar mais padrão:
Os demais elementos (por exemplo
e
) são fixos, logo a decomposição em ciclos disjuntos é simplesmente o 3-ciclo
(os 1-ciclos
e
normalmente são omitidos).
Passo 5
Agora a ordem. Fato básico: a ordem de uma permutação escrita como produto de ciclos disjuntos é o mínimo
tal que cada ciclo elevado a
seja a identidade; isso é equivalente ao mínimo
tal que
seja múltiplo do comprimento de cada ciclo, ou seja o MMC (mínimo múltiplo comum) dos comprimentos dos ciclos disjuntos.
Aqui
é um único ciclo de comprimento
. Portanto a ordem de
é
, pois
e nenhum expoente menor que
produz a identidade.