Verifique se a sequência dada é convergente ou divergente:
n2^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se a sequência n2^n é convergente ou divergente. Isso envolve o conteúdo de limites de sequências, especificamente entendendo como o numerador e o denominador se comportam conforme n cresce. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o limite dessa expressão quando n tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador quando n aumenta. No numerador, temos n, que cresce linearmente. No denominador, temos 2^n, que cresce de forma exponencial. Exponenciais crescem muito mais rápido que funções polinomiais ou lineares.

Passo 3

Para formalizar isso, vamos calcular o limite da sequência quando n tende ao infinito:
limn to infty n2^n
Percebemos que o denominador 2^n domina o numerador n, então esperamos que o limite seja zero.

Passo 4

Podemos usar a regra de L’Hospital para confirmar, já que temos uma forma inftyinfty. Aplicando a derivada do numerador e do denominador:
limn to infty n2^n = limn to infty 12^n ln 2 = 0
Pois 2^n cresce tão rápido que o limite realmente tende a zero.

Resposta

A sequência n2^n é convergente, e seu limite é 0.

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