Verifique se a sequência dada é convergente ou divergente:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se a sequência
é convergente ou divergente. Isso envolve o conteúdo de limites de sequências, especificamente entendendo como o numerador e o denominador se comportam conforme
cresce. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o limite dessa expressão quando
tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador quando
aumenta. No numerador, temos
, que cresce linearmente. No denominador, temos
, que cresce de forma exponencial. Exponenciais crescem muito mais rápido que funções polinomiais ou lineares.
Passo 3
Para formalizar isso, vamos calcular o limite da sequência quando
tende ao infinito:
Percebemos que o denominador
domina o numerador
, então esperamos que o limite seja zero.
Passo 4
Podemos usar a regra de L’Hospital para confirmar, já que temos uma forma
. Aplicando a derivada do numerador e do denominador:
Pois
cresce tão rápido que o limite realmente tende a zero.
Resposta
A sequência
é convergente, e seu limite é
.