Calcule os limites utilizando L’Hospital.
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln (1+x)-x}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to0^{+}}\frac{\ln(1+x)-x}{x^{2}}
usando a regra de L’Hôpital, pois temos uma função que leva a uma forma indeterminada do tipo \tfrac{0}{0}.

Passo 2

Verificamos a substituição direta em x=0:
\ln(1+0)-0=0 \quad\text{e}\quad 0^{2}=0,
portanto o limite original é da forma \tfrac{0}{0}, o que justifica aplicar L’Hôpital.

Passo 3

Aplicando L’Hôpital, derivamos numerador e denominador:
a derivada do numerador é
\frac{d}{dx}\bigl[\ln(1+x)-x\bigr] =\frac{1}{1+x}-1,
e a derivada do denominador é
\frac{d}{dx}[x^{2}]=2x.
Logo nosso limite vira
\lim_{x\to0^{+}} \frac{\tfrac{1}{1+x}-1}{2x}.

Passo 4

Simplificando a fração obtenha-se
\frac{1}{1+x}-1 =\frac{1-(1+x)}{1+x} =-\frac{x}{1+x},
então
\frac{\tfrac{1}{1+x}-1}{2x} =\frac{-\tfrac{x}{1+x}}{2x} =-\frac{1}{2(1+x)}.
Fazendo x\to0^{+} resulta
-\frac{1}{2(1+0)} =-\frac{1}{2}.

Resposta

-\tfrac{1}{2}

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