Questão 6. Esboce a região R delimitada pelas curvas f(x)=0 e f(x)=x^{3} e calcule a área dessa região entre 0 e 4 .

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região R limitada pelas curvas f(x)=0 e f(x)=x^3 no intervalo de x=0 até x=4. O conteúdo aqui é cálculo de área entre curvas, usando a ideia de que, se g(x) é a função superior e h(x) a inferior em [a,b], então
\text{área} = \int_{a}^{b}\bigl(g(x)-h(x)\bigr)\,dx.á

Passo 2

No esboço, a curva y=0 é o próprio eixo x e a curva y=x^3 parte de (0,0) e cresce para a direita, alcançando y=64 em x=4. Entre x=0 e x=4, temos sempre
x^3\ge 0,
logo y=x^3 fica acima de y=0 e a região R é o “bandejão” abaixo de y=x^3 e acima do eixo x.

Passo 3

Aplicando a fórmula da área entre curvas, com a superior g(x)=x^3 e a inferior h(x)=0, obtemos
A = \int_{0}^{4}\bigl(x^3 - 0\bigr)\,dx = \int_{0}^{4}x^3\,dx.

Passo 4

Para resolver, usamos a antiderivada de x^3, que é \tfrac14x^4. Assim,
A = \left[\frac{1}{4}x^4\right]_{0}^{4} = \frac{1}{4}\bigl(4^4 - 0^4\bigr) = \frac{1}{4}\cdot256 = 64.

Resposta

A área da região R é 64 unidades de área.

Exercícios relacionados