Escreva os cinco primeiros termos da seqüência, determine se ela converge e, se isso acontecer, encontre o limite.
\left\{1+(-1)^{n}\right\}_{n=1}^{+\infty}

Passo 1

O enunciado define a sequência de termos
a_n = 1 + (-1)^{n}
para n=1,2,3,\dots. Vamos precisar de conhecimentos básicos sobre sequências numéricas e o conceito de convergência de sequência para resolver: primeiro listamos os cinco primeiros termos, depois analisamos se existe um único limite ao qual a_n se aproxima.

Passo 2

Calculamos a_n conforme a paridade de n:
  • Se n é ímpar, então (-1)^n = -1 e
a_n = 1 + (-1) = 0.
  • Se n é par, então (-1)^n = 1 e
a_n = 1 + 1 = 2.
Logo os cinco primeiros termos são
a_1 = 0,\quad a_2 = 2,\quad a_3 = 0,\quad a_4 = 2,\quad a_5 = 0,
isto é,
0,\;2,\;0,\;2,\;0.

Passo 3

Para testar convergência, examinamos as duas subsequências:
\bigl(a_{2k-1}\bigr)_{k=1}^{\infty} = 0,0,0,\dots \quad\text{e}\quad \bigl(a_{2k}\bigr)_{k=1}^{\infty} = 2,2,2,\dots.
Temos
\lim_{k\to\infty}a_{2k-1} = 0 \quad\text{e}\quad \lim_{k\to\infty}a_{2k} = 2.

Passo 4

Como existem duas subsequências com limites diferentes ( 0 e 2), a sequência original não se aproxima de um único valor. Portanto, ela não converge e não possui limite.

Resposta

Os cinco primeiros termos são
0,\;2,\;0,\;2,\;0.
A sequência não converge, logo não há limite.

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