Escreva os cinco primeiros termos da seqüência, determine se ela converge e, se isso acontecer, encontre o limite.
\left\{\frac{\ln n}{n}\right\}_{n=1}^{+\infty}

Passo 1

O enunciado define a sequência
a_n = \frac{\ln n}{n},\quad n=1,2,3,\dots
e pede: (i) os cinco primeiros termos; (ii) verificar se a sequência converge; (iii) em caso afirmativo, determinar o limite. O conteúdo é de estudo de sequência e cálculo de limite, podendo usar o método de l’Hôpital para funções contínuas estendidas a reais.

Passo 2

Vamos escrever os cinco primeiros termos. Para cada n de 1 a 5,
a_n = \frac{\ln n}{n}.
Portanto, os valores são
a_1 = \frac{\ln 1}{1} = 0,\quad a_2 = \frac{\ln 2}{2},\quad a_3 = \frac{\ln 3}{3},\quad a_4 = \frac{\ln 4}{4},\quad a_5 = \frac{\ln 5}{5}.

Passo 3

Para estudar a convergência, avaliamos
\lim_{n\to+\infty} a_n = \lim_{n\to+\infty} \frac{\ln n}{n}.
Como n é inteiro, podemos considerar a função real f(x)=\ln x e o limite
\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{x}.
Aplicando l’Hôpital (pois é da forma \tfrac{\infty}{\infty}):
\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{x} = \lim_{x\to+\infty} \frac{\frac{d}{dx}(\ln x)}{\frac{d}{dx}(x)} = \lim_{x\to+\infty} \frac{1/x}{1} = 0.

Passo 4

Como o limite é 0, concluímos que a sequência \bigl(a_n\bigr) converge.

Resposta

Os cinco primeiros termos são
a_1 = 0,\quad a_2 = \frac{\ln 2}{2},\quad a_3 = \frac{\ln 3}{3},\quad a_4 = \frac{\ln 4}{4},\quad a_5 = \frac{\ln 5}{5}.
A sequência converge e
\lim_{n\to+\infty} \frac{\ln n}{n} = 0.

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