Escreva os cinco primeiros termos da seqüência, determine se ela converge e, se isso acontecer, encontre o limite.
\left\{n \operatorname{sen} \frac{\pi}{n}\right\}_{n=1}^{+\infty}

Passo 1

O enunciado define a sequência \{a_n\} por
a_n = n \,\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{n}\bigr),
pede os cinco primeiros termos, verificar se \{a_n\} converge e, em caso afirmativo, achar \lim_{n\to\infty}a_n. O conteúdo principal é limite de sequência e usamos o fato de
\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1.

Passo 2

Vamos calcular a_1,a_2,a_3,a_4,a_5.
a_1 = 1\cdot\sin\bigl(\pi/1\bigr)=\sin\pi=0, \quad a_2 = 2\cdot\sin\bigl(\pi/2\bigr)=2\cdot1=2, \quad a_3 = 3\cdot\sin\bigl(\pi/3\bigr)=3\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{3\sqrt3}{2},
a_4 = 4\cdot\sin\bigl(\pi/4\bigr)=4\cdot\frac{\sqrt2}{2}=2\sqrt2, \quad a_5 = 5\cdot\sin\bigl(\pi/5\bigr).

Passo 3

Para estudar \lim_{n\to\infty}a_n, note que, ao definir
x_n = \frac{\pi}{n},
temos x_n\to0 quando n\to\infty e
a_n = n\,\sin\bigl(\tfrac{\pi}{n}\bigr) = \frac{\sin(x_n)}{x_n}\,\pi.
Como \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1, segue
\lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}\frac{\sin(x_n)}{x_n}\,\pi = 1\cdot\pi = \pi.

Passo 4

Concluímos que \{a_n\} converge e seu limite é \pi.

Resposta

Os cinco primeiros termos são
0,\;2,\;\tfrac{3\sqrt3}{2},\;2\sqrt2,\;5\sin\bigl(\tfrac{\pi}{5}\bigr).
A sequência converge e
\lim_{n\to\infty}n\,\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{n}\bigr)=\pi.

Exercícios relacionados