(2,0 ptos) Determine, se possível o valor de a na função abaixo de modo que ela seja contínua em x=0.
f(x)= 14(e^raiz3 x-1x)^2, & se x>0 a, & se x=0 tg(3 x)4 x, & se x<0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que muda de fórmula dependendo do valor de $ x $. O exercício pede para encontrar o valor de $ a $ de forma que a função seja contínua em $ x = 0 $. Para isso, vamos usar o conceito de continuidade, que basicamente diz que para a função ser contínua em um ponto, o limite quando $ x $ se aproxima desse ponto pela direita e pela esquerda deve ser igual ao valor da função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte da função quando $ x > 0 $:
x > 0
Queremos encontrar o limite dessa expressão quando $ x $ se aproxima de 0 pela direita ($ x \to 0^+ $). Sabemos que:
f(x) = 14(e^raiz3 x - 1x)^2
Nesse caso, $ k = \sqrt{3} $. Então:
x

Passo 3

Agora, vamos ver a parte quando $ x < 0 $:
x < 0
Queremos o limite dessa expressão quando $ x $ se aproxima de 0 pela esquerda ($ x \to 0^- $). Sabemos que:
f(x) = tan(3x)4x
Aqui, $ k = 3 $. Então podemos reescrever:
x
Aplicando o limite:
x to 0^-

Passo 4

Agora que temos os limites pela direita e pela esquerda, vamos lembrar que para a função ser contínua em $ x = 0 $, esses limites precisam ser iguais e também iguais ao valor da função em $ x = 0 $, que é $ a $. Então:
x = 0

Resposta

O valor de $ a $ que torna a função contínua em $ x = 0 $ é $ a = \frac{3}{4} $.

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