(2,0 ptos) Determine, se possível o valor de
na função abaixo de modo que ela seja contínua em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que muda de fórmula dependendo do valor de $ x $. O exercício pede para encontrar o valor de $ a $ de forma que a função seja contínua em $ x = 0 $. Para isso, vamos usar o conceito de continuidade, que basicamente diz que para a função ser contínua em um ponto, o limite quando $ x $ se aproxima desse ponto pela direita e pela esquerda deve ser igual ao valor da função nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a parte da função quando $ x > 0 $:
Queremos encontrar o limite dessa expressão quando $ x $ se aproxima de 0 pela direita ($ x \to 0^+ $). Sabemos que:
Nesse caso, $ k = \sqrt{3} $. Então:
Passo 3
Agora, vamos ver a parte quando $ x < 0 $:
Queremos o limite dessa expressão quando $ x $ se aproxima de 0 pela esquerda ($ x \to 0^- $). Sabemos que:
Aqui, $ k = 3 $. Então podemos reescrever:
Aplicando o limite:
Passo 4
Agora que temos os limites pela direita e pela esquerda, vamos lembrar que para a função ser contínua em $ x = 0 $, esses limites precisam ser iguais e também iguais ao valor da função em $ x = 0 $, que é $ a $. Então:
Resposta
O valor de $ a $ que torna a função contínua em $ x = 0 $ é $ a = \frac{3}{4} $.