Escreva os cinco primeiros termos das sequências cujos n-ésimos termos são dados a seguir.
a_{n}=5-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado pede: escrever os cinco primeiros termos da sequência cujo termo geral é \;a_{n}=5-\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^{2}}\;.
Informações relevantes dadas:
  • A fórmula do termo geral é \;a_{n}=5-\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^{2}}\;.
  • Queremos os termos \;a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5}\;.
    Procedimento geral: calcular cada termo substituindo n por 1,2,3,4,5 na fórmula e simplificar.

Passo 2

Calcular \;a_{1}: substituir n=1.
a_{1}=5-\frac{1}{1}+\frac{1}{1^{2}}=5-1+1=5.
Explicação curta: \dfrac{1}{1}=1 e \dfrac{1}{1^{2}}=1, então os dois se cancelam e sobra 5.

Passo 3

Calcular \;a_{2}: substituir n=2. Vou usar denominador comum para simplificar exatamente.
a_{2}=5-\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}=5-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}.
Colocando tudo sobre o denominador 4:
5=\frac{20}{4},\quad \frac{1}{2}=\frac{2}{4},
portanto
a_{2}=\frac{20}{4}-\frac{2}{4}+\frac{1}{4}=\frac{19}{4}=4,75.
Observação: escrevi o resultado também como decimal com vírgula ( 4,75).

Passo 4

Calcular \;a_{3}: substituir n=3.
a_{3}=5-\frac{1}{3}+\frac{1}{3^{2}}=5-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}.
Usando denominador comum 9:
5=\frac{45}{9},\quad \frac{1}{3}=\frac{3}{9},
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a_{3}=\frac{45}{9}-\frac{3}{9}+\frac{1}{9}=\frac{43}{9}=4,7\overline{7}.
Comentário: \dfrac{43}{9} como decimal é 4,777\ldots, escrevi usando repetição com barra.

Passo 5

Calcular \;a_{4}: substituir n=4.
a_{4}=5-\frac{1}{4}+\frac{1}{4^{2}}=5-\frac{1}{4}+\frac{1}{16}.
Denominador comum 16:
5=\frac{80}{16},\quad \frac{1}{4}=\frac{4}{16},
portanto
a_{4}=\frac{80}{16}-\frac{4}{16}+\frac{1}{16}=\frac{77}{16}=4,8125.

Passo 6

Calcular \;a_{5}: substituir n=5.
a_{5}=5-\frac{1}{5}+\frac{1}{5^{2}}=5-\frac{1}{5}+\frac{1}{25}.
Denominador comum 25:
5=\frac{125}{25},\quad \frac{1}{5}=\frac{5}{25},
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a_{5}=\frac{125}{25}-\frac{5}{25}+\frac{1}{25}=\frac{121}{25}=4,84.

Passo 7

Pequena observação didática: ao aumentar n, os termos \dfrac{1}{n} e \dfrac{1}{n^{2}} tendem a zero, então \;a_{n}\to5 quando n\to\infty. Ou seja, os termos calculados ficam cada vez mais próximos de 5.

Resposta

a_{1}=5
a_{2}=\dfrac{19}{4}=4,75
a_{3}=\dfrac{43}{9}=4,7\overline{7}
a_{4}=\dfrac{77}{16}=4,8125
a_{5}=\dfrac{121}{25}=4,84

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