Determine se as sequências dadas são monótonas.
a_{n}=n e^{-n / 2}

Passo 1

O enunciado pede: determinar se a sequência
a_{n}=n e^{-n/2}
é monótona.
Informações dadas:
  • A sequência está definida por a_{n}=n e^{-n/2} para n\in\mathbb{N}.
  • Não há outras condições; a pergunta é apenas sobre monotonicidade (se é crescente, decrescente ou nenhuma das duas).

Passo 2

Vou explicar o método principal que vou usar: comparar termos consecutivos usando a razão
r_{n}=\frac{a_{n+1}}{a_{n}}.
Regra prática: se r_{n}<1 então a_{n+1}<a_{n} (ou seja, a sequência decresce entre n e n+1); se r_{n}>1 então cresce nesse passo; se r_{n}=1 são iguais. Mostrar que r_{n}<1 para todo n implicaria decrescimento total; mostrar que r_{n}>1 para todo n implicaria crescimento total. Vou calcular r_{n} e estudar quando é menor ou maior que 1.

Passo 3

Calcular a razão entre termos consecutivos:
r_{n}=\frac{a_{n+1}}{a_{n}} =\frac{(n+1)e^{-(n+1)/2}}{n e^{-n/2}} =\frac{n+1}{n}\,e^{-1/2} =\biggl(1+\frac{1}{n}\biggr)e^{-1/2}.
Então a comparação com 1 se dá pela desigualdade
r_{n}<1 \quad\Longleftrightarrow\quad \biggl(1+\frac{1}{n}\biggr)e^{-1/2}<1 \quad\Longleftrightarrow\quad 1+\frac{1}{n}<e^{1/2}.

Passo 4

Agora interpreto a desigualdade obtida. Sabendo que
e^{1/2}=\sqrt{e}\approx 1,6487,
temos, por exemplo, para n=2:
1+\frac{1}{2}=1{,}5<1{,}6487=e^{1/2},
logo r_{2}<1. Para qualquer n\ge 2 vale 1+\dfrac{1}{n}\le 1{,}5, portanto para todo n\ge 2 segue
1+\frac{1}{n}\le 1{,}5<e^{1/2},
ou seja r_{n}<1 para todo n\ge 2. Assim, para todo n\ge 2 tem-se a_{n+1}<a_{n}: a sequência é estritamente decrescente a partir de n=2.

Passo 5

Verifico os primeiros termos para ver o que acontece no início:
a_{1}=1\cdot e^{-1/2}=e^{-1/2}\approx 0{,}60653, \qquad a_{2}=2\cdot e^{-1}=2e^{-1}\approx 0{,}73576.
Como a_{2}>a_{1}, a sequência cresce de n=1 para n=2. Já mostrei no passo anterior que a partir de n=2 ela passa a decrescer estritamente.

Passo 6

Para consolidar a intuição (opcional, mas útil na prova): considere a função contínua f(x)=x e^{-x/2} para x>0. Derivando,
f'(x)=e^{-x/2}\biggl(1-\frac{x}{2}\biggr).
Portanto f'(x)>0 se x<2 e f'(x)<0 se x>2; isto é, f tem máximo em x=2. Isso explica por que os termos inteiros aumentam até perto de n=2 e depois diminuem: a sequência de termos a_n=f(n) herda esse comportamento de subida até n\approx2 e descida depois.

Resposta

A sequência não é monótona. Cresce de n=1 para n=2 e é estritamente decrescente para todo n\ge 2.

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