Determine se as sequências dadas são monótonas.
Passo 1
O enunciado pede: determinar se a sequência
é monótona.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A sequência está definida por
para . - Não há outras condições; a pergunta é apenas sobre monotonicidade (se é crescente, decrescente ou nenhuma das duas).
Passo 2
Vou explicar o método principal que vou usar: comparar termos consecutivos usando a razão
Regra prática: se
então
(ou seja, a sequência decresce entre
e
); se
então cresce nesse passo; se
são iguais. Mostrar que
para todo
implicaria decrescimento total; mostrar que
para todo
implicaria crescimento total. Vou calcular
e estudar quando é menor ou maior que
.
Passo 3
Calcular a razão entre termos consecutivos:
Então a comparação com
se dá pela desigualdade
Passo 4
Agora interpreto a desigualdade obtida. Sabendo que
temos, por exemplo, para
:
logo
. Para qualquer
vale
, portanto para todo
segue
ou seja
para todo
. Assim, para todo
tem-se
: a sequência é estritamente decrescente a partir de
.
Passo 5
Verifico os primeiros termos para ver o que acontece no início:
Como
, a sequência cresce de
para
. Já mostrei no passo anterior que a partir de
ela passa a decrescer estritamente.
Passo 6
Para consolidar a intuição (opcional, mas útil na prova): considere a função contínua
para
. Derivando,
Portanto
se
e
se
; isto é,
tem máximo em
. Isso explica por que os termos inteiros aumentam até perto de
e depois diminuem: a sequência de termos
herda esse comportamento de subida até
e descida depois.
Resposta
A sequência não é monótona. Cresce de
para
e é estritamente decrescente para todo
.