Escreva E como combinação linear, se possível de A=(cc1 & 1 0 & -1), B=(cc1 & 1 -1 & 0), C=(cc1 & -1 0 & 0), onde
E=(cc2 & 1 -1 & -2).

Passo 1

O enunciado pede para ver se dá para encontrar escalares alpha,beta,gamma tais que
alpha A+beta B+gamma C = E,
onde
A=1&10&-1, B=1&1-1&0, C=1&-10&0, E=2&1-1&-2
Isso é resolver um pequeno sistema linear em alpha,beta,gamma.

Passo 2

Vamos escrever a combinação linear e calcular a soma de matrizes:
alpha A+beta B+gamma C = alpha1&10&-1 +beta1&1-1&0 +gamma1&-10&0 = alpha+beta+gamma & alpha+beta-gamma -,beta & -,alpha
Queremos que isso seja igual a
2&1-1&-2.

Passo 3

Comparando entradas, obtemos o sistema
alpha + beta + gamma = 2, alpha + beta - gamma = 1, -,beta = -1, -,alpha = -2
Das duas últimas equações vem beta=1 e alpha=2.
Substituindo na primeira dá 2+1+gamma=2impliesgamma=-1.
Mas na segunda teríamos 2+1-(-1)=4neq1, ou seja, contradição.

Passo 4

O sistema não tem solução, logo não existe combinação linear de A,B,C que produza E.

Resposta

Não é possível escrever E como combinação linear de A, B e C.

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