Escreva E como combinação linear, se possível de A=(cc1 & 1 0 & -1), B=(cc1 & 1 -1 & 0), C=(cc1 & -1 0 & 0), onde
(i) E=(ll3 & -1 1 & -2)
(ii) E=(cc2 & 1 -1 & -2).
Que conjunto de M2(R) pode ser escrito como combinação linear de A, B e C ?

Passo 1

O enunciado pede para expressar uma dada matriz E como combinação linear de
A=1&10&-1, B=1&1-1&0, C=1&-10&0,
nos casos (i) E=3&-11&-2 e (ii) E=2&1-1&-2, e depois caracterizar o subespaço de M2( R) gerado por A,B,C.

Passo 2

Suponha que existam escalares x,y,zin R tais que
xA+yB+zC = x+y+z & x+y-z -y & -x = m11&m12 m21&m22 =E
Isso gera o sistema
m11=x+y+z, m12=x+y-z, m21=-y, m22=-x

Passo 3

Para (i) E=3&-11&-2 temos
m21=1implies -y=1implies y=-1, m22=-2implies -x=-2implies x=2
Da primeira equação 3=x+y+z=2-1+z obtemos z=2. Verificando em m12:
-1=x+y-z=2-1-2=-1,
ok. Logo
E=2A-1,B+2C

Passo 4

Para (ii) E=2&1-1&-2 temos
m21=-1implies -y=-1implies y=1, m22=-2implies -x=-2implies x=2
Da primeira equação 2=x+y+z=2+1+z segue z=-1. Mas então
m12overset?=x+y-z=2+1-(-1)=4neq1,
logo não há solução. Não se pode escrever essa E como combinação de A,B,C.

Passo 5

Uma combinação geral produz
xA+yB+zC = x+y+z & x+y-z -y & -x
Chamando esses coeficientes de mij, temos x=-m22, y=-m21 e
z=m11-x-y=m11+m22+m21
Substituindo em m12=x+y-z chega-se à condição
m11+m12+2,m21+2,m22=0

Passo 6

Portanto o subespaço gerado por A,B,C é
SpanA,B,C =lM=(mij)in M2( R);|;m11+m12+2,m21+2,m22=0r,
que tem dimensão 3 em M2( R).

Resposta

(i) E=2A - B + 2C.\n(ii) não é possível escrever E como combinação linear de A,B,C.\nO subespaço gerado por A,B,C é Min M2(R) mid m11+m12+2m21+2m22=0.

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