Escreva
como combinação linear, se possível de
,
C=(cc1 & -1 0 & 0) , onde
(i)
E=(ll3 & -1 1 & -2)
(ii)
E=(cc2 & 1 -1 & -2) .
Que conjunto de
M2(R) pode ser escrito como combinação linear de
A, B e
C ?
(i)
(ii)
Passo 1
O enunciado pede para expressar uma dada matriz
E como combinação linear de
nos casos (i)
E=3&-11&-2 e (ii)
E=2&1-1&-2 , e depois caracterizar o subespaço de
M2( R) gerado por
A,B,C .
Passo 2
Suponha que existam escalares
x,y,zin R tais que
Isso gera o sistema
Passo 3
Para (i)
E=3&-11&-2 temos
Da primeira equação
3=x+y+z=2-1+z obtemos
z=2 . Verificando em
m12 :
ok. Logo
Passo 4
Para (ii)
E=2&1-1&-2 temos
Da primeira equação
2=x+y+z=2+1+z segue
z=-1 . Mas então
logo não há solução. Não se pode escrever essa
E como combinação de
A,B,C .
Passo 5
Uma combinação geral produz
Chamando esses coeficientes de
mij , temos
x=-m22 ,
y=-m21 e
Substituindo em
m12=x+y-z chega-se à condição
Passo 6
Portanto o subespaço gerado por
A,B,C é
que tem dimensão
3 em
M2( R) .
Resposta
(i)
E=2A - B + 2C .\n(ii) não é possível escrever
E como combinação linear de
A,B,C .\nO subespaço gerado por
A,B,C é
Min M2(R) mid m11+m12+2m21+2m22=0 .