. Para o problema (3) acima, mostre que para um sistema de coordenadas paralelo ao considerado acima, mas com origem no CM do cubo, o tensor de inércia se torna diagonal, \operatorname{com} I_{11}=I_{22}=I_{33}=M b^{2} / 6 e todos demais elementos iguais a zero. (dica: use o teorema dos eixos paralelos).
Passo 1
O que o problema pede: mostrar que, escolhendo um sistema de coordenadas paralelo ao anterior mas com origem no centro de massa (CM) do cubo uniforme, o tensor de inércia fica diagonal e
I_{11}=I_{22}=I_{33}=\frac{M b^{2}}{6}
e todos os demais elementos são zero.
Informações dadas (explicitamente ou que devemos assumir):
O corpo é um cubo homogêneo de massa \,M e aresta \,b.
O sistema de coordenadas pedido é paralelo ao anterior (ou seja, eixos alinhados com as arestas do cubo) e sua origem está no CM do cubo.
A dica pede uso do teorema dos eixos paralelos (também chamado teorema de Steiner para tensores de inércia).
Vamos precisar do tensor de inércia calculado em um sistema paralelo mas com origem em um vértice do cubo (isso costuma ser o “sistema anterior”); portanto calcularemos o tensor no vértice e usaremos o teorema dos eixos paralelos para transladar para o CM.
Passo 2
Apresento o teorema dos eixos paralelos (forma para tensor de inércia) e explico cada termo.
Fórmula (para eixos paralelos): se I_{O} é o tensor de inércia calculado com origem em um ponto O e I_{\text{CM}} é o tensor de inércia com origem no centro de massa, e d é o vetor que vai do CM até O, então
Calculamos o tensor de inércia com origem em um vértice O do cubo (assumimos eixos orientados ao longo das arestas e o vértice em O=(0,0,0); o cubo ocupa 0\le x,y,z\le b). Essa escolha é conveniente porque integrações são simples. A densidade volumétrica é
\rho=\frac{M}{b^{3}}.
Definições dos componentes do tensor (no sistema com origem em O):
Calculamos a matriz de correção K=(d\cdot d)\mathbf{1}-d d^{T}. Primeiro d d^{T} tem todas as entradas iguais a \tfrac{b^{2}}{4} (pois cada componente de d é \tfrac{b}{2}), então
d d^{T}=\frac{b^{2}}{4} \begin{pmatrix}1&1&1\\[2pt]1&1&1\\[2pt]1&1&1\end{pmatrix}.
E (d\cdot d)\mathbf{1}=\dfrac{3b^{2}}{4}\mathbf{1}. Assim
K=\frac{b^{2}}{4}\bigl(3\mathbf{1}-J\bigr),
onde J é a matriz cujas entradas são todas 1. Escrevendo explicitamente, as entradas de K são:
Portanto, no sistema com origem no CM obtemos um tensor diagonal com entradas iguais.]
Passo 6
Interpretação final e conclusão didática curta:
A simetria do cubo centrado no CM garante que os produtos de inércia se anulem (eixos principais alinhados com as arestas).
O uso do teorema dos eixos paralelos evita recalcular todas as integrais centradas no CM: basta calcular no vértice (ou outro ponto conveniente) e subtrair a correção M((d\cdot d)\mathbf{1}-dd^{T}).
O valor \dfrac{1}{6}M b^{2} para cada momento principal é o resultado clássico para um cubo uniforme de aresta \,b em torno de um eixo passando pelo seu centro e paralelo a uma aresta.
Resposta
I_{11}=I_{22}=I_{33}=\frac{M b^{2}}{6}
Todos os demais elementos do tensor de inércia são zero.