O segmento reto semi-infinito, z >= 0, x=y=0, está carregado com rhoL=15 nC / m, no vácuo. Determine E nos pontos: (a) PA(0,0,-1); (b) PB(1,2,3).

Passo 1

Beleza, o problema é o seguinte: temos uma linha reta semi-infinita carregada (do eixo z, de z=0 até z→∞) com densidade linear de carga ,nC/m, tudo no vácuo. A gente precisa achar o campo elétrico em dois pontos:
(a)
(b)
Conteúdo: campo elétrico gerado por distribuição contínua de carga. Vamos usar a lei de Coulomb elementar (campo de um ) e integrar ao longo da linha. Tudo passo a passo, sem pular nada.

Passo 2

Cálculo em dvec E =14pivarepsilon0,dqR^2,hat R :
  1. Um elemento de carga R = |z'+1|, hat R = (0,0,-1)-(0,0,z')|z'+1| = -hat z em dEz = 14pivarepsilon0,rhoL,dz'(z'+1)^2,(-1) produz
Ez = -rhoL4pivarepsilon0integral0^inftydz'(z'+1)^2 = -rhoL4pivarepsilon0[-1z'+1]0^infty = -rhoL4pivarepsilon0,(1)
onde Ez = -l(9times10^9r),(15times10^-9) = -135;N/C é a distância do ponto até o ponto de observação . Aqui
  1. Logo,
  1. Integramos de até :
  1. Substituindo  C/m e  N·m²/C²:
Direção só em .

Passo 3

Cálculo em dvec E =14pivarepsilon0,rhoL,dz'|vec R|^3,vec R :
  1. Para um elemento Ex = k,rhoL;1;integral0^inftydz'[5+(3-z')^2]^3/2, Ey = k,rhoL;2;integral0^inftydz'[5+(3-z')^2]^3/2, em Ez = k,rhoL;integral0^infty3-z'[5+(3-z')^2]^3/2,dz', , o vetor de posição até Ex = k,rhoL;15l(1+3raiz14r), Ey = k,rhoL;25l(1+3raiz14r), é
    Ez = -,k,rhoL;1raiz14 , e 1+3raiz14approx1.8018, 1raiz14approx0.2673 .
  2. O campo elementar:
Exapprox135cdot1.80185approx48.7, Eyapprox135cdot2cdot1.80185approx97.4, Ezapprox -135cdot0.2673approx -36.1
  1. Pela simetria, as componentes se separam:
onde e .
4) Fazendo as integrais (padrão de ∫du/(u²+a²)³/² e ∫u du/(u²+a²)³/²), a gente chega a fórmulas fechadas. Para os números fica:
, .
  1. Numericamente, com ,N/C:

Resposta


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