Integrais envolvendo funções trigonométricas
I=integral tg^4 3 x cdot sec ^2 3 x d x.

Passo 1

A questão pede para calcular a integral I = integral tan^4(3x),sec^2(3x),dx. O conteúdo aqui é substituição simples usando a derivada de tan(3x).

Passo 2

Vamos usar a substituição u = tan(3x). Sabemos que a derivada de tan(3x) em relação a x é 3sec^2(3x), logo
du = 3sec^2(3x),dx implies sec^2(3x),dx = du3

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
I = integral tan^4(3x)sec^2(3x),dx = integral u^4 cdot du3 = 13integral u^4,du

Passo 4

Para integrar u^4, aplicamos a regra da potência: integral u^n,du = u^n+1/(n+1). Assim,
13integral u^4,du = 13 cdot u^55 + C = u^515 + C

Passo 5

Voltando à variável original x, como u = tan(3x), temos
I = tan^5(3x)15 + C

Resposta

tan^5(3x)15 + C

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