Encontre as equações paramétricas e a equação cartesiana do plano tangente à superfície dada por \varphi(u, v)=\left(u^{2}+2 v\right) \vec{i}+(3 v-2 u) \vec{j}+(6 v-10) \vec{k} no ponto (0,0,-10).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Encontrar as equações paramétricas do plano tangente à superfície \varphi(u,v) no ponto (0,0,-10).
  • Encontrar a equação cartesiana desse mesmo plano tangente.
Informações dadas:
\varphi(u,v)=\big(u^{2}+2v\big)\,\vec{i}+\big(3v-2u\big)\,\vec{j}+\big(6v-10\big)\,\vec{k}
o ponto onde o plano tangente deve ser determinado é (0,0,-10).
Não há outras informações externas; o ponto deve corresponder a algum par (u_0,v_0) de parâmetros da superfície.

Passo 2

Verificar quais valores de (u,v) geram o ponto (0,0,-10). Calcular \varphi(0,0):
\varphi(0,0)=\big(0^{2}+2\cdot0,\;3\cdot0-2\cdot0,\;6\cdot0-10\big)=(0,0,-10).
Portanto o ponto corresponde ao parâmetro (u_0,v_0)=(0,0). Ou seja, vamos trabalhar o plano tangente em (u_0,v_0)=(0,0).

Passo 3

Conceito/princípio que vamos usar (explicadinho):
  • Para uma superfície parametrizada por \varphi(u,v), os vetores \varphi_u e \varphi_v (derivadas parciais) em (u_0,v_0) são vetores tangentes à superfície naquele ponto.
  • O plano tangente é o plano que passa pela posição \varphi(u_0,v_0) e é gerado (span) pelos vetores \varphi_u(u_0,v_0) e \varphi_v(u_0,v_0).
  • Assim a forma paramétrica do plano tangente é
\mathbf{r}(s,t)=\varphi(u_0,v_0)+s\,\varphi_u(u_0,v_0)+t\,\varphi_v(u_0,v_0),
onde s,t\in\mathbb{R} são parâmetros do plano (pequenas variações nos parâmetros da superfície).
  • Para achar a equação cartesiana do plano, calculamos um vetor normal \mathbf{n}=\varphi_u(u_0,v_0)\times\varphi_v(u_0,v_0) (produto vetorial) e usamos
\mathbf{n}\cdot\big((x,y,z)-\varphi(u_0,v_0)\big)=0.
Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de \varphi. Lembrando: derivada parcial significa derivar cada componente da função em relação a u (mantendo v fixo) ou em relação a v (mantendo u fixo).
Componentes de \varphi:
x(u,v)=u^{2}+2v,\qquad y(u,v)=3v-2u,\qquad z(u,v)=6v-10.
Derivadas parciais:
\varphi_u(u,v)=\big(\tfrac{\partial x}{\partial u},\tfrac{\partial y}{\partial u},\tfrac{\partial z}{\partial u}\big) =\big(2u,\,-2,\,0\big).
\varphi_v(u,v)=\big(\tfrac{\partial x}{\partial v},\tfrac{\partial y}{\partial v},\tfrac{\partial z}{\partial v}\big) =\big(2,\,3,\,6\big).
Expliquei: \tfrac{\partial x}{\partial u}=2u porque derivada de u^2 é 2u; \tfrac{\partial y}{\partial u}=-2 porque derivada de -2u é -2; e \tfrac{\partial z}{\partial u}=0 porque z não depende de u. Para \varphi_v derivou-se cada componente em relação a v.

Passo 5

Avaliar as derivadas no ponto de interesse (u_0,v_0)=(0,0):
\varphi_u(0,0)=\big(2\cdot0,\,-2,\,0\big)=(0,-2,0),
\varphi_v(0,0)=(2,3,6).
Esses dois vetores são os vetores tangentes à superfície no ponto (0,0,-10).

Passo 6

Montar a equação paramétrica do plano tangente usando parâmetros s\) e \(t\): \[\mathbf{r}(s,t)=\varphi(0,0)+s\,\varphi_u(0,0)+t\,\varphi_v(0,0).
Substituindo números:
\mathbf{r}(s,t)=(0,0,-10)+s(0,-2,0)+t(2,3,6).
Escrevendo em componentes, as equações paramétricas (uma por coordenada) ficam
\begin{cases} x(s,t)=0+0\cdot s+2\cdot t=2t,\\[4pt] y(s,t)=0-2\cdot s+3\cdot t=-2s+3t,\\[4pt] z(s,t)=-10+0\cdot s+6\cdot t=-10+6t. \end{cases}
Explicação leve: s\] corresponde a deslocamento na direção \(\varphi_u(0,0) e t na direção \varphi_v(0,0).]

Passo 7

Encontrar a equação cartesiana: primeiro calcular o vetor normal pelo produto vetorial \mathbf{n}=\varphi_u(0,0)\times\varphi_v(0,0).
Calcular o produto vetorial explicitamente:
\mathbf{n}= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\\\ 0 & -2 & 0 \\\\ 2 & 3 & 6 \end{vmatrix} = \vec{i}\big((-2)\cdot6-0\cdot3\big) -\vec{j}\big(0\cdot6-0\cdot2\big) +\vec{k}\big(0\cdot3-(-2)\cdot2\big).
Fazendo as contas:
\mathbf{n}=(-12)\,\vec{i}-0\,\vec{j}+4\,\vec{k}=(-12,0,4).
É correto multiplicar ou dividir \mathbf{n} por escalar não nulo; para simplificar podemos dividir por 4 e usar (-3,0,1) como normal equivalente.

Passo 8

Escrever a equação cartesiana usando \mathbf{n}=(-12,0,4) (ou (-3,0,1)) e o ponto (0,0,-10). A forma geral é
\mathbf{n}\cdot\big((x,y,z)- (0,0,-10)\big)=0.
Substituindo \mathbf{n}=(-12,0,4):
(-12,0,4)\cdot(x,y,z+10)= -12x + 0\cdot y +4(z+10)=0.
Desenvolvendo:
-12x+4z+40=0.
Dividindo por 4 para simplificar:
-3x+z+10=0.
Isolando z:
z=3x-10.
Observação: a equação não contém y, o que indica que o plano é paralelo ao eixo y (ou seja, qualquer y é permitido para os pontos do plano).

Passo 9

Checar rapidamente consistência: substituir as paramétricas ( x=2t, z=-10+6t) em -3x+z+10:
-3(2t)+(-10+6t)+10 = -6t-10+6t+10=0,
logo as equações paramétricas satisfazem a equação cartesiana — tudo coerente.

Resposta

Equações paramétricas:
\begin{cases} x(s,t)=2t,\\[4pt] y(s,t)=-2s+3t,\\[4pt] z(s,t)=-10+6t, \end{cases}\qquad s,t\in\mathbb{R}.
Equação cartesiana:
-3x+z+10=0
ou, equivalentemente,
z=3x-10.]

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