Encontre as equações paramétricas e a equação cartesiana do plano tangente à superfície dada por \varphi(u, v)=\left(u^{2}+2 v\right) \vec{i}+(3 v-2 u) \vec{j}+(6 v-10) \vec{k} no ponto (0,0,-10).
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
Encontrar as equações paramétricas do plano tangente à superfície \varphi(u,v) no ponto (0,0,-10).
Encontrar a equação cartesiana desse mesmo plano tangente.
o ponto onde o plano tangente deve ser determinado é (0,0,-10).
Não há outras informações externas; o ponto deve corresponder a algum par (u_0,v_0) de parâmetros da superfície.
Passo 2
Verificar quais valores de (u,v) geram o ponto (0,0,-10). Calcular \varphi(0,0):
Portanto o ponto corresponde ao parâmetro (u_0,v_0)=(0,0). Ou seja, vamos trabalhar o plano tangente em (u_0,v_0)=(0,0).
Passo 3
Conceito/princípio que vamos usar (explicadinho):
Para uma superfície parametrizada por \varphi(u,v), os vetores \varphi_u e \varphi_v (derivadas parciais) em (u_0,v_0) são vetores tangentes à superfície naquele ponto.
O plano tangente é o plano que passa pela posição \varphi(u_0,v_0) e é gerado (span) pelos vetores \varphi_u(u_0,v_0) e \varphi_v(u_0,v_0).
Calcular as derivadas parciais de \varphi. Lembrando: derivada parcial significa derivar cada componente da função em relação a u (mantendo v fixo) ou em relação a v (mantendo u fixo).
Expliquei: \tfrac{\partial x}{\partial u}=2u porque derivada de u^2 é 2u; \tfrac{\partial y}{\partial u}=-2 porque derivada de -2u é -2; e \tfrac{\partial z}{\partial u}=0 porque z não depende de u. Para \varphi_v derivou-se cada componente em relação a v.
Passo 5
Avaliar as derivadas no ponto de interesse (u_0,v_0)=(0,0):