Escreva uma expressão que especifique os vetores em coordenadas cartesianas:
Velocidade Vetorial Instantânea no espaço
Obs. Deverá realizar os desenvolvimentos matemáticos

Passo 1

O enunciado pede: escrever uma expressão que especifique a velocidade vetorial instantânea no espaço em coordenadas cartesianas, com os desenvolvimentos matemáticos.
Informações dadas (implícitas no problema):
  • Existe um vetor posição dependente do tempo, cujo tamanho e direção variam com t.
  • Em coordenadas cartesianas a posição é descrita por três componentes escalares que são funções de t: as funções x(t), y(t) e z(t).
    As perguntas claras a responder:
  • Qual é a definição de velocidade vetorial instantânea em termos do vetor posição?
  • Como escrever essa velocidade em coordenadas cartesianas (componentes e forma vetorial)?
  • Como calcular o módulo (norma) da velocidade e o vetor unitário tangente (opcionalmente útil)?

Passo 2

Definição do vetor posição em coordenadas cartesianas e da base canônica.
Escreve-se o vetor posição como uma função do tempo:
\mathbf{r}(t)=x(t)\,\mathbf{i}+y(t)\,\mathbf{j}+z(t)\,\mathbf{k}
Explicação dos termos:
  • \mathbf{r}(t) é o vetor posição no espaço em função do tempo t.
  • x(t),\,y(t),\,z(t) são funções escalares de t que representam as coordenadas cartesianas do ponto ocupado pela partícula.
  • \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k} são os vetores unitários da base canônica em x,y,z. Em coordenadas cartesianas (ortogonais e fixas no espaço) esses vetores são constantes no tempo, ou seja,
\frac{d\mathbf{i}}{dt}=\frac{d\mathbf{j}}{dt}=\frac{d\mathbf{k}}{dt}=\mathbf{0}.
Dica prática para prova: escreva sempre a posição como soma de componentes escalares multiplicando os vetores unitários. Vai facilitar a derivação componente a componente.

Passo 3

Definição operacional da velocidade vetorial instantânea por limite (noção física e matemática).
A velocidade média entre t e t+\Delta t é
\frac{\mathbf{r}(t+\Delta t)-\mathbf{r}(t)}{\Delta t}.
A velocidade vetorial instantânea é o limite dessa razão quando \Delta t\to0:
\mathbf{v}(t)=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\mathbf{r}(t+\Delta t)-\mathbf{r}(t)}{\Delta t}.
Isto é exatamente a definição da derivada do vetor posição em relação a t. No cálculo de provas, use essa definição mentalmente para justificar a derivação componente a componente.

Passo 4

Derivação componente a componente (linearidade da derivada).
Como a derivada é linear e os vetores unitários são constantes, pode-se derivar \mathbf{r}(t) fazendo a derivada de cada componente escalar:
\mathbf{v}(t)=\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(x(t)\,\mathbf{i}+y(t)\,\mathbf{j}+z(t)\,\mathbf{k}\bigr).
Aplicando a linearidade e lembrando que \dfrac{d\mathbf{i}}{dt}=\mathbf{0} etc., obtemos
\mathbf{v}(t)=\frac{dx}{dt}\,\mathbf{i}+\frac{dy}{dt}\,\mathbf{j}+\frac{dz}{dt}\,\mathbf{k}.
Explicação da notação:
  • \dfrac{dx}{dt}, \dfrac{dy}{dt}, \dfrac{dz}{dt} são as derivadas das funções escalares de t. Às vezes escreve-se \dot{x}(t),\dot{y}(t),\dot{z}(t) para abreviar.
  • Cada derivada é uma velocidade escalar na direção do respectivo eixo; juntando-se com \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k} formam a velocidade vetorial.

Passo 5

Forma matricial/componente da velocidade e interpretação prática.
Pode-se também representar a velocidade como um vetor coluna de componentes:
\mathbf{v}(t)=\begin{pmatrix}\dfrac{dx}{dt}\\[6pt]\dfrac{dy}{dt}\\[6pt]\dfrac{dz}{dt}\end{pmatrix}.
Interpretação para prova: para obter a velocidade, calcule simplesmente as derivadas das três funções das coordenadas e coloque-as como componentes do vetor; não é preciso diferenciar os vetores unitários na base cartesiana fixa.]

Passo 6

Cálculo do módulo da velocidade e vetor unitário tangente (úteis em muitos exercícios).
O módulo (norma) de \mathbf{v}(t) é
\|\mathbf{v}(t)\|=\sqrt{\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^{2}+\left(\dfrac{dz}{dt}\right)^{2}}.
O vetor unitário tangente à trajetória (quando \mathbf{v}\neq\mathbf{0}) é
\hat{\mathbf{t}}(t)=\frac{\mathbf{v}(t)}{\|\mathbf{v}(t)\|}.
Dica de prova: se pedirem direção de movimento use \hat{\mathbf{t}}; se pedirem rapidez (speed) use \|\mathbf{v}\|.

Passo 7

Exemplo prático totalmente desenvolvido (modelo para você reproduzir na prova).
Considere \mathbf{r}(t)=\bigl(t,\;t^{2},\;\sin t\bigr). Então x(t)=t,\;y(t)=t^{2},\;z(t)=\sin t. Derivando componente a componente:
\frac{dx}{dt}=1,\qquad \frac{dy}{dt}=2t,\qquad \frac{dz}{dt}=\cos t.
Logo a velocidade vetorial é
\mathbf{v}(t)=1\cdot\mathbf{i}+2t\cdot\mathbf{j}+\cos t\cdot\mathbf{k}.
O módulo é
\|\mathbf{v}(t)\|=\sqrt{1^{2}+(2t)^{2}+(\cos t)^{2}}=\sqrt{1+4t^{2}+\cos^{2}t}.
Use este tipo de desenvolvimento passo a passo na prova: escreva as componentes, derive cada uma, monte o vetor e, se pedirem, calcule a norma.

Passo 8

Resumo rápido de como responder numa prova (truques e cuidados).
  • Escreva primeiro \mathbf{r}(t) claramente com x(t),y(t),z(t).
  • Aplique a derivada componente a componente; não esqueça que \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k} são constantes.
  • Use \dfrac{d}{dt} ou a notação de ponto \dot{}.
  • Se pedirem direção ou unidade, calcule a norma e divida.
  • Se der erro na prova, verifique se esqueceu de derivar algum sinal, potência ou função trigonométrica. Você consegue — respira fundo e deriva passo a passo.

Resposta

\displaystyle \mathbf{v}(t)=\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\frac{dx}{dt}\,\mathbf{i}+\frac{dy}{dt}\,\mathbf{j}+\frac{dz}{dt}\,\mathbf{k}\newline
\displaystyle \|\mathbf{v}(t)\|=\sqrt{\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^{2}+\left(\dfrac{dz}{dt}\right)^{2}}

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