Escreva uma expressão que especifique os vetores em coordenadas cartesianas:
Velocidade Vetorial Instantânea no espaço
Obs. Deverá realizar os desenvolvimentos matemáticos
Passo 1
O enunciado pede: escrever uma expressão que especifique a velocidade vetorial instantânea no espaço em coordenadas cartesianas, com os desenvolvimentos matemáticos.
Informações dadas (implícitas no problema):
Existe um vetor posição dependente do tempo, cujo tamanho e direção variam com t.
Em coordenadas cartesianas a posição é descrita por três componentes escalares que são funções de t: as funções x(t), y(t) e z(t).
As perguntas claras a responder:
Qual é a definição de velocidade vetorial instantânea em termos do vetor posição?
Como escrever essa velocidade em coordenadas cartesianas (componentes e forma vetorial)?
Como calcular o módulo (norma) da velocidade e o vetor unitário tangente (opcionalmente útil)?
Passo 2
Definição do vetor posição em coordenadas cartesianas e da base canônica.
Escreve-se o vetor posição como uma função do tempo:
\mathbf{r}(t) é o vetor posição no espaço em função do tempo t.
x(t),\,y(t),\,z(t) são funções escalares de t que representam as coordenadas cartesianas do ponto ocupado pela partícula.
\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k} são os vetores unitários da base canônica em x,y,z. Em coordenadas cartesianas (ortogonais e fixas no espaço) esses vetores são constantes no tempo, ou seja,
Dica prática para prova: escreva sempre a posição como soma de componentes escalares multiplicando os vetores unitários. Vai facilitar a derivação componente a componente.
Passo 3
Definição operacional da velocidade vetorial instantânea por limite (noção física e matemática).
A velocidade média entre t e t+\Delta t é
Isto é exatamente a definição da derivada do vetor posição em relação a t. No cálculo de provas, use essa definição mentalmente para justificar a derivação componente a componente.
Passo 4
Derivação componente a componente (linearidade da derivada).
Como a derivada é linear e os vetores unitários são constantes, pode-se derivar \mathbf{r}(t) fazendo a derivada de cada componente escalar:
\dfrac{dx}{dt}, \dfrac{dy}{dt}, \dfrac{dz}{dt} são as derivadas das funções escalares de t. Às vezes escreve-se \dot{x}(t),\dot{y}(t),\dot{z}(t) para abreviar.
Cada derivada é uma velocidade escalar na direção do respectivo eixo; juntando-se com \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k} formam a velocidade vetorial.
Passo 5
Forma matricial/componente da velocidade e interpretação prática.
Pode-se também representar a velocidade como um vetor coluna de componentes:
Interpretação para prova: para obter a velocidade, calcule simplesmente as derivadas das três funções das coordenadas e coloque-as como componentes do vetor; não é preciso diferenciar os vetores unitários na base cartesiana fixa.]
Passo 6
Cálculo do módulo da velocidade e vetor unitário tangente (úteis em muitos exercícios).
O módulo (norma) de \mathbf{v}(t) é
Dica de prova: se pedirem direção de movimento use \hat{\mathbf{t}}; se pedirem rapidez (speed) use \|\mathbf{v}\|.
Passo 7
Exemplo prático totalmente desenvolvido (modelo para você reproduzir na prova).
Considere \mathbf{r}(t)=\bigl(t,\;t^{2},\;\sin t\bigr). Então x(t)=t,\;y(t)=t^{2},\;z(t)=\sin t. Derivando componente a componente:
\frac{dx}{dt}=1,\qquad \frac{dy}{dt}=2t,\qquad \frac{dz}{dt}=\cos t.
Use este tipo de desenvolvimento passo a passo na prova: escreva as componentes, derive cada uma, monte o vetor e, se pedirem, calcule a norma.
Passo 8
Resumo rápido de como responder numa prova (truques e cuidados).
Escreva primeiro \mathbf{r}(t) claramente com x(t),y(t),z(t).
Aplique a derivada componente a componente; não esqueça que \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k} são constantes.
Use \dfrac{d}{dt} ou a notação de ponto \dot{}.
Se pedirem direção ou unidade, calcule a norma e divida.
Se der erro na prova, verifique se esqueceu de derivar algum sinal, potência ou função trigonométrica. Você consegue — respira fundo e deriva passo a passo.