Escreva, em coordenadas cartesianas, a(s) integral(is) dupla(s) que permite(m) calcular a área da menor região delimitada pelas curvas x^2+y^2=9 e y^2+1=3 x, tomando:
(a) x como variável independente;

Passo 1

O enunciado pede a área da menor região limitada pelas curvas x^2+y^2=9 (círculo de raio 3) e y^2+1=3x (parábola), usando integrais duplas em coordenadas cartesianas e tomando x como variável independente. Precisamos achar onde elas se cruzam e como descrever a região em faixas de x.

Passo 2

Para encontrar as interseções, escrevemos da parábola y^2=3x-1 e substituímos em x^2+y^2=9:
x^2+(3x-1)=9
x^2+3x-10=0
As raízes são x=2 e x=-5, mas só x=2 gera ponto real em ambas as curvas, com y^2=5. Logo os pontos de interseção são (2,pmraiz5).

Passo 3

Observando as curvas, a parábola exige x>=1/3 (vértice em x=1/3) e o círculo dá |x|<=3. A região fechada entre essas interseções está, para x, de 1/3 até 2. Para cada x nesse intervalo, na vertical há dois trechos: o ramo inferior com
y de -raiz9-x^2 até -raiz3x-1 e o ramo superior com
y de raiz3x-1 até raiz9-x^2.

Passo 4

Montamos então a integral dupla somando os dois ramos em y para cada x:
A=integralx=1/3^2l(integraly=raiz3x-1^raiz9-x^21,dy+integraly=-raiz9-x^2^-raiz3x-11,dyr)dx

Resposta

A=integralx=1/3^2l(integraly=raiz3x-1^raiz9-x^21,dy+integraly=-raiz9-x^2^-raiz3x-11,dyr)dx

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