Seja n \geqslant 0 um número inteiro. Prove que 5^{2 n+1}+11^{2 n+1}+17^{2 n+1} é divisivel por 33 .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro n\ge0, a soma
5^{2n+1} \;+\; 11^{2n+1} \;+\; 17^{2n+1}
é múltipla de 33.
Para isso, vamos usar aritmética modular: basta provar que ela é simultaneamente 0 módulo 3 e 0 módulo 11, pois \gcd(3,11)=1 implica que se é divisível por 3 e por 11, então é divisível por 33.

Passo 2

Verificação módulo 3.
Observamos as classes:
5\equiv2\pmod{3},\quad 11\equiv2\pmod{3},\quad 17\equiv2\pmod{3}.
Logo
5^{2n+1}+11^{2n+1}+17^{2n+1} \equiv 2^{2n+1}+2^{2n+1}+2^{2n+1} =3\cdot2^{2n+1} \equiv0\pmod{3}.

Passo 3

Verificação módulo 11.
Temos
5\equiv5\pmod{11},\quad 11\equiv0\pmod{11},\quad 17\equiv6\pmod{11}.
Além disso, 6\equiv -5\pmod{11}. Portanto
5^{2n+1}+11^{2n+1}+17^{2n+1} \equiv 5^{2n+1}+0+6^{2n+1} =5^{2n+1}+(-5)^{2n+1} =5^{2n+1}-5^{2n+1} \equiv0\pmod{11}.

Passo 4

Como a soma é 0 módulo 3 e 0 módulo 11, concluímos que ela é múltipla de 33.

Resposta

A expressão 5^{2n+1}+11^{2n+1}+17^{2n+1} é divisível por 33 para todo inteiro n\ge0.

Exercícios relacionados