Escreva a definição da antiderivada da uma função num intervalo, e o seu resultado mais importante.
Encontre
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Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que foi pedido na questão. A primeira parte solicita que escrevamos a definição de antiderivada de uma função em um intervalo e o seu resultado mais importante. A segunda parte nos pede para encontrar a função
dado que sua segunda derivada é
, com as condições iniciais
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma antiderivada e como utilizá-la para encontrar funções a partir de suas derivadas.
Passo 2
Vamos começar definindo o que é uma antiderivada. A antiderivada de uma função
em um intervalo é outra função
cuja derivada é exatamente
. Em outras palavras,
. A principal utilidade da antiderivada está no Teorema Fundamental do Cálculo, que conecta a derivação com a integração, permitindo calcular áreas sob curvas e resolver equações diferenciais simples.
Passo 3
Agora, vamos aplicar esse conceito para encontrar a função
a partir de sua segunda derivada. Sabemos que:
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada
integrando
.
Passo 4
Integrando
em relação a
:
Vamos integrar termo a termo:
- A integral de
é . - A integral de
é . - A integral de
é .
Então,
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar o valor de
.
Substituindo
na expressão de
:
Resolvendo para
:
Então, a expressão para
fica:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a função
integrando
:
Integrando termo a termo:
- A integral de
é . - A integral de
é . - A integral de
é . - A integral de
é .
Então,
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Usamos a condição inicial
para encontrar
.
Substituindo
na expressão de
:
Então, a expressão final para
é:
Resposta
A função
é dada por: