Escreva a definição da antiderivada da uma função num intervalo, e o seu resultado mais importante.
Encontre f.
f^prime prime(x)=5 x^3+6 x^2+2, f(0)=3, f^prime(1)=-2.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que foi pedido na questão. A primeira parte solicita que escrevamos a definição de antiderivada de uma função em um intervalo e o seu resultado mais importante. A segunda parte nos pede para encontrar a função dado que sua segunda derivada é , com as condições iniciais e . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma antiderivada e como utilizá-la para encontrar funções a partir de suas derivadas.

Passo 2

Vamos começar definindo o que é uma antiderivada. A antiderivada de uma função em um intervalo é outra função cuja derivada é exatamente . Em outras palavras, . A principal utilidade da antiderivada está no Teorema Fundamental do Cálculo, que conecta a derivação com a integração, permitindo calcular áreas sob curvas e resolver equações diferenciais simples.

Passo 3

Agora, vamos aplicar esse conceito para encontrar a função f''(x) = 5x^3 + 6x^2 + 2 a partir de sua segunda derivada. Sabemos que:
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada integrando .

Passo 4

Integrando f'(x) = integral f''(x) , dx = integral (5x^3 + 6x^2 + 2) , dx em relação a f'(x) = 54x^4 + 2x^3 + 2x + C :
Vamos integrar termo a termo:
  • A integral de é .
  • A integral de é .
  • A integral de é .
Então,
onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, usamos a condição inicial -2 = 54(1)^4 + 2(1)^3 + 2(1) + C para encontrar o valor de -2 = 54 + 2 + 2 + C .
Substituindo -2 = 54 + 4 + C na expressão de -2 = 214 + C :
C = -2 - 214 = -84 - 214 = -294
f'(x) = 54x^4 + 2x^3 + 2x - 294
Resolvendo para :
Então, a expressão para fica:

Passo 6

Agora, vamos encontrar a função f(x) = integral f'(x) , dx = integral ( 54x^4 + 2x^3 + 2x - 294 ) dx integrando f(x) = 14x^5 + 12x^4 + x^2 - 294x + D :
Integrando termo a termo:
  • A integral de é .
  • A integral de é .
  • A integral de é .
  • A integral de é .
Então,
onde é a constante de integração.

Passo 7

Usamos a condição inicial 3 = 14(0)^5 + 12(0)^4 + (0)^2 - 294(0) + D para encontrar 3 = D .
Substituindo f(x) = 14x^5 + 12x^4 + x^2 - 294x + 3 na expressão de :
Então, a expressão final para é:

Resposta

A função f(x) = 14x^5 + 12x^4 + x^2 - 294x + 3 é dada por:

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