Foi realizado um estudo migratório sobre uma população de peixes em três regiões
. A cada período de um ano
da população
migra para a B, 20% da população
migra para a
e
da
migra para a
. Sabendo que a pesquisa observou uma população estável de 35.000 indivíduos e sendo
e
o número de peixes nas respectivas regiões no n-ésimo ano antes da migração o que podemos dizer sobre o número de peixes em cada região ao decorrer muitos anos? Suponha que as sequências
sejam convergentes.
Passo 1
O enunciado trata de uma população de peixes que migram anualmente entre três regiões A, B e C segundo porcentagens fixas, com o total constante em 35
000 indivíduos. Como as sequências $ (A_n) , (B_n) , (C_n) $ são convergentes, vamos usar recursões lineares e encontrar o ponto de equilíbrio (estado estável) do sistema.
000 indivíduos. Como as sequências $ (A_n) , (B_n) , (C_n) $ são convergentes, vamos usar recursões lineares e encontrar o ponto de equilíbrio (estado estável) do sistema.
Passo 2
A cada ano temos as seguintes transferências: 10% de A vai para B, 20% de B vai para C e 5% de C vai para A. Isso gera o sistema de recorrência
Passo 3
No equilíbrio, como
,
e
, os valores não mudam de uma iteração para a outra. Logo substituímos
,
,
nas recorrências acima e obtemos:
Passo 4
Das três equações de equilíbrio isolamos as variáveis em função de uma delas:
Da primeira:
⇒
⇒
.
Da segunda:
⇒
⇒
.
Da terceira:
⇒
⇒
.
Como o total é constante,
substituindo
e
(pois
implica
):
Logo
,
e
.
Passo 5
Portanto, à medida que
, as populações convergem para esses valores e o sistema atinge o estado estável.
Resposta
À medida que n→∞, A_n → 10000, B_n → 5000 e C_n → 20000.