Foi realizado um estudo migratório sobre uma população de peixes em três regiões A, B, e C. A cada período de um ano 10 % da população A migra para a B, 20% da população B migra para a C e 5 % da C migra para a A. Sabendo que a pesquisa observou uma população estável de 35.000 indivíduos e sendo An, Bn e Cn o número de peixes nas respectivas regiões no n-ésimo ano antes da migração o que podemos dizer sobre o número de peixes em cada região ao decorrer muitos anos? Suponha que as sequências (An),(Bn) e(Cn) sejam convergentes.

Passo 1

O enunciado trata de uma população de peixes que migram anualmente entre três regiões A, B e C segundo porcentagens fixas, com o total constante em 35
000 indivíduos. Como as sequências $ (A_n) , (B_n) , (C_n) $ são convergentes, vamos usar recursões lineares e encontrar o ponto de equilíbrio (estado estável) do sistema.

Passo 2

A cada ano temos as seguintes transferências: 10% de A vai para B, 20% de B vai para C e 5% de C vai para A. Isso gera o sistema de recorrência
An+1 = 0.9,An + 0.05,Cn
Bn+1 = 0.1,An + 0.8,Bn
Cn+1 = 0.2,Bn + 0.95,Cn

Passo 3

No equilíbrio, como Anto A, Bnto B e Cnto C, os valores não mudam de uma iteração para a outra. Logo substituímos An+1=A, Bn+1=B, Cn+1=C nas recorrências acima e obtemos:
A = 0.9A + 0.05C
B = 0.1A + 0.8B
C = 0.2B + 0.95C

Passo 4

Das três equações de equilíbrio isolamos as variáveis em função de uma delas:
Da primeira: A - 0.9A = 0.05C 0.1A = 0.05C A = 0.5C.
Da segunda: B - 0.8B = 0.1A 0.2B = 0.1A B = 0.5A.
Da terceira: C - 0.95C = 0.2B 0.05C = 0.2B C = 4B.
Como o total é constante,
A + B + C = 35000
substituindo A = 2B e C = 4B (pois A=0.5C implica A=2B):
2B + B + 4B = 7B = 35000
Logo B = 5000, A = 2B = 10000 e C = 4B = 20000.

Passo 5

Portanto, à medida que ntoinfty, as populações convergem para esses valores e o sistema atinge o estado estável.

Resposta

À medida que n→∞, A_n → 10000, B_n → 5000 e C_n → 20000.

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