Escreva a definição e apresente um exemplo para cada um dos verbetes abaixo:
Função derivável.

Passo 1

O exercício pede para definirmos o que é uma função derivável e depois darmos um exemplo concreto. O tema é cálculo diferencial, e vamos precisar usar a definição de derivada baseada em limite de diferença quociente.

Passo 2

Uma função f: I subseteq R to R é dita derivável em um ponto x0 in I se o seguinte limite existir como número finito e único:
f'(x0)=limhto 0f(x0+h)-f(x0)h Se esse limite existe, chamamos f'(x0) de derivada de f em x0. Se f for derivável em todo ponto de um intervalo I, dizemos que f é derivável em I.

Passo 3

Vamos usar como exemplo a função f(x)=x^2. Calculamos a derivada em um ponto genérico x0 aplicando a definição:
f'(x0)=limhto 0(x0+h)^2-x0^2h =limhto 0x0^2+2x0h+h^2-x0^2h =limhto 02x0h+h^2h =limhto 0(2x0+h) =2x0 Portanto, f(x)=x^2 é derivável em todo R e sua derivada é f'(x)=2x.

Resposta

Definição: Uma função f: I subseteq R to R é derivável em x0 in I se existe o limite
f'(x0)=limhto 0f(x0+h)-f(x0)h
como número finito. Exemplo: Para f(x)=x^2, temos
f'(x)=2x, \nlogo f(x)=x^2 é derivável em todo R.

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